154

Глава 9. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Продолжим изучение линейных уравнений с постоянными коэффициентами в общем случае, когда правая часть не равна нулю, то есть неоднородных.

§ 1. Общие сведения.

Пусть имеем линейное неоднородное дифференциального уравнения - го порядка:

, (1)

коэффициенты ,,..., и – заданные непрерывные функции переменной (или постоянные). Функция неизвестна: её необходимо найти как решение уравнения (1).

Оказывается, независимо от того, в какой форме задана функция уравнения (1), решают в два этапа:

Этап : Для заданного линейного неоднородного уравнения (1) записывают соответствующее однородное уравнение: . (2)

Решая линейное однородноеуравнение (2), находят егообщеерешение:.

Этап : Для заданного линейного неоднородного уравнения (1) находят (любым доступным способом) частное решение: и записывают его общее решение: =+.

Решая линейное однородное уравнение (2), находят его общеерешение:.

Докажем правомерность применения алгоритма . Для облегчения восприятия Теоремы, начнём с уравнений 2-го порядка.

Теорема: (9.1)

Пусть имеем уравнение: , где ,, – заданные непрерывные функции (или постоянные), и пусть получено общее решение – соответствующего однородного уравнения: . Если известно какое-нибудь частное решение – неоднородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения записывают в виде: =+, где = (функции и – частное решение однородного уравнения).

►Доказательство. Сначала докажем, что функция =+ может быть решением заданного уравнения. Подставим эту функцию в уравнение:

,

или += 0+=.

Итак, функция =+ есть решение заданного уравнения! Но, сможет ли она быть общим решением заданного неоднородного уравнения?.. Пусть для заданного уравнения определены начальные условия: =, = и необходимо решить задачу Коши. Для заданных начальных условий составим систему:

(3)

Так как и – независимые решения однородного уравнения, то определитель Вронского для системы (3) не равен нулю. Это значит, что значения произвольных постоянных величин и вычисляются однозначно. Доказано: функция =+ реализует свойство общего решения дифференциального уравнения. ◄

Если внимательно посмотреть доказательство Теоремы 9.1, можно заметить справедливость такой теоремы и для уравнений - го порядка:

Теорема: (9.2)

Если известно общее решение однородного уравнения (2) – , а также частное решение неоднородного уравнения (1), то общее решение неоднородного уравнения (1) записывают в виде: =+.

Следующая теорема раскрывает некоторые особенности реализации Этапа : в данном случае мы получаем возможность заменить решение сложной задачи решением нескольких более простых.

Теорема: (9.3)

Пусть имеем уравнение: ==+. Для решения общей задачи можно решить две задачи: 1*. = → – частное решение; 2*. = → – частное решение. После этого составляется частное решение исходного ДУ: =+.

►Доказательство теоремы достаточно легко наблюдаем по записям:

=+,

или +=+= – тождество.

Говорят, что доказанная Теорема устанавливает свойство аддитивности решений и линейного неоднородного уравнения для суммы функций +. ◄

Для уравнения - го порядка имеем обобщающую теорему. Её доказательство принципиально не отличается от Теоремы 9.3.

Итак, решение линейного неоднородного уравнения может быть реализовано в два этапа. Задача нахождения решения (задача Этапа ) достаточно подробно изучена в Главе 8 настоящего пособия. Нахождение частного решения (задача Этапа ) может осуществляться применением разных методов. Это зависит (как оказалось!) от свойств функции . Мы будем изучать два случая реализации Этапа решения неоднородного уравнения:

Случай-1. Функцияпроизвольная→ применяют метод «вариации произвольных постоянных».

Случай-2. Функцияспециальная→ применяют метод «неопределенных коэффициентов».

Названные методы, а также применяемые термины станут содержательными по мере освоения этих методов.