Добавил:

ertikpol08 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

Основы Теории Управления

Файл:

Методичка к лабе #2 / otu_METOD2.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

05.04.2013

Размер:

3.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Критерий Найквиста

Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи системы автоматического управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристике разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим разные случаи:

Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция разомкнутой цепи:

, m<n (5)

Этот случай соответствует системам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию

где D(s) – характеристический многочлен замкнутой системы, а L(s) – характеристический многочлен разомкнутой цепи этой системы.

Подставим s = jw, и получим

По критерию Михайлова изменение аргумента L(jw) при равно так как предполагается, что разомкнутая цепь устойчива. С другой стороны, требуется, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменения аргумента D(jw) при также равнялось.

Отсюда следует, что изменение аргумента должно быть:

Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат (рис. 3).

Формулировка частотного критерия Найквиста: Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку (-1) (рис.4).

Первый график рис.4 соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой цепи К, а второй график случаю, когда и при уменьшении К система может стать неустойчивой.

Неустойчивость замкнутой системы иллюстрируется на рис.5.

Система, нейтральная в разомкнутом состоянии

Характеристический многочлен разомкнутой цепи L(s) имеет ненулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части.

Передаточная функция разомкнутой цепи W(s) имеет соответственно нулевые полюса:

, m<n

Это соответствует астатическим системам, причем  - порядок астатизма.

Рассмотрим случай  = 1, т.е.

При  = 1,2,3 получаем ту же формулировку критерия – неохват точки (-1), как показано на рис.6.

Система с неустойчивой разомкнутой цепью

Пусть характеристический многочлен L(s) разомкнутой цепи имеет l корней с положительной вещественной частью. Тогда введенная выше вспомогательная функция

при замене s=jw, согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутая система, должна иметь следующее изменение аргумента при :

Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (-1) против часовой стрелки на угол 1, гдеl– число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой цепи данной системы. Другими словами, левее точки (-1) разность между числом положительных и числом отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики через ось абсцисс должно равнятьсяl/2.

Формулу можно использовать для подсчета числа корней m, лежащих справа, когда система неустойчива, а именно

Приl=1 пример не рис.7 а) б); а в случаеl=3 рис.7 в)

Начальная точка характеристики на оси абсцисс левее (-1) считается как половина периода.

Построение областей D-разбиения

Метод D-разбиение состоит в том, что для определения границ устойчивости системы аналогично методу Михайлова в характеристическое уравнение

подставляется мнимое значение = jw, причем w изменяется от до .При w конечном таким образом определяется колебательная граница устойчивости, а при частных значениях w=0 и - остальные границы (соответствующие значениям и ).

Однако  = jw может быть не только на границе устойчивости. Чтобы получить границу устойчивости, нужно обеспечить еще услоие отсутствия в данном уравнении корней с положительной вещественной частью (иначе система будет не на границе, а попусту неустойчива).

Рассмотрим метод D-разбиения сначала для определения устойчивости по одному параметру, а затем – по двум.

Пусть некоторый параметр К, влияние которого на устойчивость надо выяснить, входит в характеристическое уравнение следующим образом:

Тогда подстановка = jw дает

Границей устойчивости будет вещественное значение правой части этого равенства. Чтобы его найти, строим на комплексной плоскости (К,у) годограф функции

При и затем , как и показано на рисунке 8. Штриховка кривой производится слева, если идти в направлении увеличения w. Точки пересечения годографа с вещественной осью К определяют границы устойчивости. В данном случае (рис.8) область устойчивости будет

Для построения на области устойчивости двух каких-нибудь параметров К и Т после подстановки  =jwв характеристическое уравнение

или

откуда

Подставляя в полученные выражения разные значения W сначала , а затем ,строим по точкам кривые на плоскости (К,Т). Штриховка каждой кривой, если идти в сторону увеличения w, делается слева, когда якобиан, т.е. определитель вида

положителен. В обратном случае штриховка кривой производится справа. Если при кривая пробегается дважды, то штриховка наносится дважды. (рис. 9). Такие кривые соответствуют колебательной границе устойчивости (w – частота колебания), на которой пара комплексных корней меняет знак вещественной части с минуса на плюс.

Значениям w=0 и соответствуют особые кривые (чаще всего прямые), вдоль которых w сохраняет постоянное значение (0 или ). Штриховка их (однократная) согласуется с предыдущей, как показано не рис.8. Кривые с однократной штриховкой соответствует переходу вещественного корня с отрицательного на положительный через нуль или бесконечность.