Скачиваний:
13
Добавлен:
05.04.2013
Размер:
3.19 Mб
Скачать

Критерий Найквиста

Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи системы автоматического управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристике разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим разные случаи:

Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция разомкнутой цепи:

, m<n (5)

Этот случай соответствует системам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию

где D(s) – характеристический многочлен замкнутой системы, а L(s) – характеристический многочлен разомкнутой цепи этой системы.

Подставим s = jw, и получим

По критерию Михайлова изменение аргумента L(jw) при равно так как предполагается, что разомкнутая цепь устойчива. С другой стороны, требуется, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменения аргумента D(jw) при также равнялось.

Отсюда следует, что изменение аргумента должно быть:

Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат (рис. 3).

Формулировка частотного критерия Найквиста: Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку (-1) (рис.4).

Первый график рис.4 соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой цепи К, а второй график случаю, когда и при уменьшении К система может стать неустойчивой.

Неустойчивость замкнутой системы иллюстрируется на рис.5.

Система, нейтральная в разомкнутом состоянии

Характеристический многочлен разомкнутой цепи L(s) имеет ненулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части.

Передаточная функция разомкнутой цепи W(s) имеет соответственно нулевые полюса:

, m<n

Это соответствует астатическим системам, причем  - порядок астатизма.

Рассмотрим случай  = 1, т.е.

При  = 1,2,3 получаем ту же формулировку критерия – неохват точки (-1), как показано на рис.6.

Система с неустойчивой разомкнутой цепью

Пусть характеристический многочлен L(s) разомкнутой цепи имеет l корней с положительной вещественной частью. Тогда введенная выше вспомогательная функция

при замене s=jw, согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутая система, должна иметь следующее изменение аргумента при :

Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (-1) против часовой стрелки на угол 1, гдеl– число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой цепи данной системы. Другими словами, левее точки (-1) разность между числом положительных и числом отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики через ось абсцисс должно равнятьсяl/2.

Формулу можно использовать для подсчета числа корней m, лежащих справа, когда система неустойчива, а именно

Приl=1 пример не рис.7 а) б); а в случаеl=3 рис.7 в)

Начальная точка характеристики на оси абсцисс левее (-1) считается как половина периода.

Построение областей D-разбиения

Метод D-разбиение состоит в том, что для определения границ устойчивости системы аналогично методу Михайлова в характеристическое уравнение

подставляется мнимое значение = jw, причем w изменяется от до .При w конечном таким образом определяется колебательная граница устойчивости, а при частных значениях w=0 и - остальные границы (соответствующие значениям и ).

Однако  = jw может быть не только на границе устойчивости. Чтобы получить границу устойчивости, нужно обеспечить еще услоие отсутствия в данном уравнении корней с положительной вещественной частью (иначе система будет не на границе, а попусту неустойчива).

Рассмотрим метод D-разбиения сначала для определения устойчивости по одному параметру, а затем – по двум.

Пусть некоторый параметр К, влияние которого на устойчивость надо выяснить, входит в характеристическое уравнение следующим образом:

Тогда подстановка = jw дает

Границей устойчивости будет вещественное значение правой части этого равенства. Чтобы его найти, строим на комплексной плоскости (К,у) годограф функции

При и затем , как и показано на рисунке 8. Штриховка кривой производится слева, если идти в направлении увеличения w. Точки пересечения годографа с вещественной осью К определяют границы устойчивости. В данном случае (рис.8) область устойчивости будет

Для построения на области устойчивости двух каких-нибудь параметров К и Т после подстановки  =jwв характеристическое уравнение

или

откуда

Подставляя в полученные выражения разные значения W сначала , а затем ,строим по точкам кривые на плоскости (К,Т). Штриховка каждой кривой, если идти в сторону увеличения w, делается слева, когда якобиан, т.е. определитель вида

положителен. В обратном случае штриховка кривой производится справа. Если при кривая пробегается дважды, то штриховка наносится дважды. (рис. 9). Такие кривые соответствуют колебательной границе устойчивости (w – частота колебания), на которой пара комплексных корней меняет знак вещественной части с минуса на плюс.

Значениям w=0 и соответствуют особые кривые (чаще всего прямые), вдоль которых w сохраняет постоянное значение (0 или ). Штриховка их (однократная) согласуется с предыдущей, как показано не рис.8. Кривые с однократной штриховкой соответствует переходу вещественного корня с отрицательного на положительный через нуль или бесконечность.

4.2. Задание на работу

Определить устойчивость разомкнутой системы по критерию Михайлова,

замкнутой системы – по критерию Найквиста.

Построить D – разбиение. (По 1 или 2 параметрам)

4.4. Порядок выполнения работы

Рассмотрим порядок выполнения работы на примере функции:

Где К=58 с-1-общий коэффициент усиления разомкнутой системы,

= 0,57 с, = 0,01 с – постоянные времени.

  1. Для определения устойчивости разомкнутой системы воспользуемся критерием Михайлова.

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:

;

Для построения кривой Михайлова определим вещественную и мнимую части функции L(jw):

;

;

Посмотрим кривую Михайлова – Y(x) – при измененииwот 0 до с помощьюMatLAB

>> w=9:1:17

w=

Columns 1 through 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Columns 13 through 18

  1. 13 14 15 16 17

>> plot(58-0.58.*( w.^2),w-0.0057.*( w.^3))

>>

  1. Для определения устойчивости в замкнутом состоянии воспользуемся критерием Найквиста.

Рассмотрим саму функцию W(jw) для построения амплитудно-фазовой частотной характеристики

Построим А.Ф.Х. Y(x) с помощьюMatLAB

>> w=10:1:500

w=

Columns 1 through 12

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Columns 481 through 491

490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500

>> z=58./(i.*w.*(1+i.*w.*0.57).*(1+i.*w.*0.01))

z=

Columns 1 through 4

-0.9945-0.6737i -0.8245-0.0401i -0.694-0.0179i -0.5917-0.0029i

Columns 489 through 491

0.0000 + 0.0001i 0.0000 + 0.0001i 0.0000 + 0.0001i

>> plot(real(z),imag(z))

  1. Найдем области устойчивости.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Будем искать область устойчивости на плоскости параметров (К,). Из написанных уравнений находим (при w)

=

т.е. для нашей функции

=

Построим кривые на плоскости (К,), подставляя в полученные выражения разные значения w сначала , а затем .

Для определения направления штриховки запишем якобиан

<0 при w>0,

>0 при w<0.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.