Министерство общего и профессионального

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный институт электроники и математики

(Технический университет)

Кафедра «Вычислительные системы и сети»

Определение устойчивости по критериям Михайлова, Найквиста. D – разбиение.

Методические указания к лабораторной работе 3

По дисциплине “Основы теории управления”

Москва, 1998

Цель работы – изучение различных критериев устойчивости с использованием покета прикладных программ MatLab.

1 Теория

Устойчивость

Состояние равновесия объектов управления может быть устойчивым, неустойчивым и нейтральным. То же можно сказать и о системах автоматического регулирования.

Неустойчивый объект может входить в устойчивую систему автоматического регулирования. В этом случае речь идет о системах с искусственной устойчивостью. Однако неустойчивые линейные системы автоматического регулирования сами по себе без дополнительных устройств искусственной устойчивости не могут быть применены на практике. Поэтому первым условием работоспособности линейной системы автоматического регулирования является устойчивость.

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейного звена является отрицательное значение вещественной части всех полюсов передаточной функции этого звена. Исследования устойчивости, таким образом, сводится к определению знаков вещественной части корней характеристического уравнения, т.е. к вопросу распределения корней относительно мнимой оси в комплексной плоскости р. Правила, позволяющие определить расположение корней относительно мнимой оси, называются критериями.

В настоящее время при решении вопроса об устойчивости используются следующие критерии: алгебраические – а) Рауса, б) Гурвица; частотные – а) Михайлова, б) Найквиста.

Критерий Михайлова

Возьмем характеристический многочлен линейной системы n-го порядка

(1)

с положительными коэффициентами (необходимое условие устойчивости). Поставив в него чисто мнимое значение  = jw, получим

(2)

где

(3)

Изобразим годограф этого выражения на комплексной плоскости (X,Y). Годографы имеют для различных n примерно такие формы, как на рис. 1. Эти годографы называются кривыми Михайлова. Уравнение годографа Михайлова- (2).

Практически кривая Михайлова строится по точкам. Задавая несколько разных значений w от 0 до бесконечности, по формулам (3) вычисляют для каждого из них координаты точек кривой Михайлова.

Формулировка критерия: Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(jw) при изменении w от 0 до бесконечности равнялось бы n  т.е.

при (4)

другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова (рис.1) проходила последовательно n квадрантов против часовой стрелки (все время окружая начало координат). Например, видно, что кривые на рис.1 соответствуют устойчивым системам, а на рис.2 – неустойчивой системе при n=5.