2. Математические методы физики / Специальные функции и теория представления групп

Предисловие

13

Введение

17

ГЛАВА I

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

§ 1. Основные понятия теории представлений

22

1.

Определение

22

2.

Матричная запись представлений

24

3.

Эквивалентные представления

26

4.

Сопряженные представления

27

5.

Эрмитово-сопряженные представления. Унитарные представления

28

6.

Инвариантные подпространства. Неприводимые представления

29

7.

Разложение представления в прямую сумму

30

8.

Полная приводимость унитарных представлений

32

9.

Кронекеровское умножение представлений

33

10. Характеры представлений

34

11. Инфинитезимальные операторы представления

35

§ 2. Группы преобразований и их представления

38

1.

Группы преобразований

38

2.

Транзитивные группы преобразований

38

3.

Инвариантные меры

40

4.

Представления групп операторами сдвига

41

5.

Представления класса 1. Сферические функции

44

6.

Индуцированные представления

45

7.

Представления групп с операторным множителем

46

8.

Некоторые примеры

48

§ 3. Инвариантные операторы и теория представлений

49

1.

Операторы, перестановочные с представлениями

49

2.

Лемма Шура

51

3.

Следствия из леммы Шура

52

4.

Инвариантные операторы

54

§ 4. Представления компактных групп

55

1.

Матричные группы. Компактные и локально компактные группы

55

2.

Полная приводимость представлений компактных групп

57

3.

Ряды Фурье на компактных группах

58

4.

Гармонический анализ функций на компактных группах

63

5.

Разложение функций на однородных пространствах

65

6.

Свертка функций на группе

68

7.

Разложение центральных функций

69

Дополнение к главе I. Некоторые сведения о линейных пространствах

72

1.

Кронекеровское или тензорное произведение линейных пространств и

72

операторов

2.

Операторы типа Гильберта — Шмидта

74

3.

Тензорное произведение гильбертовых пространств

75

4.

Счетно-гильбертовы пространства. Ядерные пространства

77

5.

Ортогональная прямая сумма гильбертовых пространств

78

6.

Непрерывная прямая сумма гильбертовых пространств

79

7.

Разложение операторов в непрерывную прямую сумму операторов

80

ГЛАВА II

АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ

§ 1. Показательная и тригонометрические функции

81

1.

Неприводимые унитарные представления группы R

81

2.

Группа вращений плоскости и тригонометрические функции

82

3.

Группа гиперболических вращений плоскости и гиперболические

84

функции

4.

Комплексная форма группы SO(2)

86

§ 2. Ряды Фурье

87

1.

Инвариантное интегрирование на группе SO(2)

87

2.

Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье

87

3.

Разложение регулярного представления группы SO(2)

88

4.

Разложение бесконечно дифференцируемых функций

89

§ 3. Интеграл Фурье

90

1.

Регулярное представление группы R

90

2.

Преобразование Фурье и его свойства

91

3.

Формула обращения

93

4.

Формула Планшереля

96

5.

Преобразование функций с интегрируемым квадратом

97

6.

Интеграл Фурье для функций нескольких переменных

98

§ 4. Преобразование Фурье в комплексной области

99

1.

Определение

99

2.

Преобразование функций с интегрируемым квадратом

101

3.

Преобразование Меллина

103

ГЛАВА III

ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И

МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ

§ 1. Группа SU(2)

106

1.

Параметризация

106

2.

Углы Эйлера произведения двух матриц

108

3.

Алгебра Ли

109

4.

Комплексификация

111

5.

Связь с группой вращений

112

6.

Углы Эйлера вращений

113

7.

Сфера, как однородное пространство

115

§ 2. Неприводимые унитарные представления Tl(u)

116

1.

Представления в пространствах однородных многочленов

116

2.

Инфинитезимальные операторы представления Tl(u)

118

3.

Неприводимость

120

4.

Инвариантное скалярное произведение

121

5.

Полнота системы представлений Tl(u)

122

§ 3. Матричные элементы представлений Tl(g). Многочлены Лежандра и

123

Якоби

1.

Вычисление матричных элементов

123

2.

Различные выражения матричных элементов

124

3.

Выражение через углы Эйлера

127

4.

Различные выражения функций Plmn(z)

128

5.

Частные значения Plmn(z)

129

6.

Соотношения симметрии

130

7.

Матрицы Tl(θ)

132

8.

Соотношения обхода

132

9.

Связь с классическими ортогональными многочленами

132

10. Многочлены Лежандра как зональные сферические функции

136

§ 4. Функциональные соотношения для функций Plmn(z)

137

1 Теорема сложения

137

2.

Теорема сложения для многочленов Лежандра

139

3.

Формула умножения

140

4.

Рекуррентные формулы

142

5.

Дифференциальное уравнение

144

6.

Инфинитезимальные операторы регулярного представления

146

7.

Инфинитезимальные операторы и рекуррентные формулы

148

8.

Оператор Лапласа

149

9.

Дальнейшие рекуррентные соотношения

152

§ 5. Производящие функции для Plmn(z)

154

1.

Случай фиксированных l и n

154

2.

Рекуррентные формулы при различных значениях l

156

3.

Случай фиксированных m и n

161

4.

Интегральные представления Дирихле — Мерфи

163

5.

Рекуррентные формулы для многочленов Лежандра

164

§ 6. Разложение функций на группе SU(2)

166

1.

Инвариантная мера

166

2.

Соотношения ортогональности для функций Plmn(z)

167

3.

Разложения в ряды по функциям Plmn(x)

170

4.

Некоторые подпространства функций

171

5.

Разложение функций на сфере

174

6.

Разложение полей величин на сфере

175

§ 7. Характеры представлений Tl(u)

177

1.

Вычисление характеров

177

2.

Ортогональность характеров

179

3.

Разложение центральных функций

180

§ 8. Коэффициенты Клебша — Гордана

181

1.

Кронекеровское произведение представлений Tl(u)

181

2.

Базисы в пространстве G1 G2

183

3.

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана

184

4.

Соотношения симетрии

188

5.

Некоторые частные значения

190

6.

Разложение произведений функций Plmn(z)

192

7.

Связь с многочленами Якоби

194

8.

Рекуррентные формулы

195

9.

Производящая функция

197

ГЛАВА IV

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ

БЕССЕЛЯ

§ 1. Группа M(2)

201

1.

Определение

201

2.

Параметризации

202

3.

Алгебра Ли

204

4.

Комплексификация

205

§ 2. Неприводимые унитарные представления группы M(2)

206

1.

Описание представлений

206

2.

Инфинитезимальные операторы

207

3.

Неприводимость представлений

208

4.

Представления скрещенных произведений

209

§ 3. Матричные элементы представлений TR(g) и функции Бесселя

210

1.

Вычисление матричных элементов

210

2.

Связь функций Бесселя с противоположными индексами

212

3.

Разложение функций Бесселя в степенные ряды

212

§ 4. Функциональные соотношения для функций Бесселя

213

1.

Теорема сложения

213

2.

Формула умножения

214

3.

Рекуррентные формулы

215

4.

Дифференциальное уравнение

216

5.

Производящая функция

217

6.

Рекуррентные соотношения

217

§ 5. Разложения представлений группы M(2) и преобразование Фурье —

218

Бесселя

1.

Квазирегулярное представление

218

2.

Преобразование Фурье — Бесселя

221

3.

Разложение квазирегулярного представления

222

4.

Инфинитезимальные операторы

225

5.

Разложение регулярного представления

227

§ 6. Произведение представлений

228

1.

Кронекеровское произведение представлений TR(g)

228

2.

Кронекеровское произведение и формула умножения

230

§ 7. Функции Бесселя и функции Plmn(x)

232

1.

Группа движений плоскости и группа вращений сферы

232

2.

Функции Бесселя и многочлены Якоби

232

3.

Асимптотическая формула для коэффициентов Клебша — Гордана

234

ГЛАВА V

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ

ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА

§ 1. Представления группы линейных преобразований прямой линии и Г-

235

функция

1.

Группа линейных преобразований прямой линии

235

2.

Неприводимые представления группы G

236

3.

Приведение операторов Rλ(g(0, a)) к диагональному виду

239

4.

Выражение ядра K(w, z; g) через Г-функцию

241

5.

Свойства Г-функции

242

6.

Теорема сложения для Г-функции и ее следствия

245

7.

Бета-функция и формула удвоения для Г(x)

247

8.

Преобразование Фурье функций x+u и x−u

248

9.

Представления группы линейных преобразований прямой,

249

индуцированные одномерными представлениями подгруппы A

§ 2. Группа MH(2) движений псевдоевклидовой плоскости

251

1.

Псевдоевклидова плоскость

251

2.

Группа MH(2)

252

3.

Параметризации группы MH(2)

254

4.

Алгебра Ли группы MH(2)

255

§ 3. Представления группы MH(2)

257

1.

Неприводимые представления

257

2.

Другая реализация представлений TR(g) группы MH(2)

258

3.

Унитарный случай

261

4.

Функции Макдональда и Ганкеля

262

5.

Выражение ядер представления QR(g) через функцию Макдональда

263

6.

Инфинитезимальные операторы представлений TR(g) и QR(g)

264

7.

Неприводимость представлений TR(g)

265

§ 4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций

266

Макдональда и Ганкеля

1.

Соотношения между инфинитезимальными операторами и операторами

266

представления

2.

Рекуррентные формулы

267

3.

Дифференциальные уравнения для функций Макдональда и Ганкеля

268

4.

Связь между функциями Ганкеля и функциями Бесселя

269

§ 5. Функциональные соотношения для функций Ганкеля и Макдональда

270

1.

Вводные замечания

270

2.

Интегральное представление

271

3.

Разложение в степенные ряды

272

4.

Преобразования Меллина

273

5.

Преобразования Меллина (продолжение)

276

6.

Теоремы сложения

277

7.

Теоремы умножения

280

8.

Взаимно обратные интегральные преобразования

281

§ 6. Разложение квазирегулярного представления группы MH(2)

282

1.

Квазирегулярное представление группы MH(2)

282

2.

Интегральные преобразования

284

ГЛАВА VI

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) УНИМОДУЛЯРНЫХ

КВАЗИУНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ

ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ

§ 1. Группа QU(2)

288

1.

Описание

288

2.

Подгруппы группы SL(2, R)

291

3.

Параметризации группы QU(2)

292

4.

Инвариантное интегрирование

294

5.

Алгебра Ли

294

§ 2. Неприводимые представления группы QU(2)

295

1.

Пространство Dχ

295

2.

Представления Tχ(g)

296

3.

Инфинитезимальные операторы

298

4.

Неприводимость

299

5.

Целочисленные представления

300

6.

Условия эквивалентности

302

7.

Условия унитарности

303

8.

Унитарно-сопряженные представления

306

§ 3. Матричные элементы представлений Tχ(g)

307

1.

Вычисление матричных элементов

307

2.

Выражение через углы Эйлера

308

3.

Различные выражения функций βlmn (z)

310

4.

Зональные сферические функции представлений Tχ(g) и функции

315

Лежандра

5.

Присоединенные функции Лежандра

316

6.

Соотношения симметрии для функции βlmn (chτ)

317

7.

Функции βlmn (z) в целочисленном случае

320

§ 4. Функциональные соотношения для βlmn (chτ)

322

1.

Теорема сложения

322

2.

Целочисленный случай

324

3.

Теоремы сложения для функций Лежандра

324

4.

Формула умножения

325

5.

Рекуррентные формулы

327

6.

Производящая функция

328

7.

Континуальная производящая Функция

331

§ 5. Разложение регулярного представления группы QU(2)

331

1.

Регулярное представление группы QU(2)

332

2.

Рекуррентные соотношения и инфинитезимальные операторы

334

3.

Разложение функций на группе QU(2)

335

4.

Разложение регулярного представления группы QU(2) на неприводимые

340

5.

Разложение индуцированных представлений группы QU(2)

342

6.

Соотношения ортогональности для функций βlmn (x)

344

ГЛАВА VII

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ УНИМОДУЛЯРНЫХ

МАТРИЦ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

§ 1. Гипергеометрическая функция

345

1.

Определение

345

2.

Некоторые соотношения

347

3.

Некоторые интегралы, выражающиеся через гипергеометрическую

348

функцию

4.

Выражение функций и многочленов Якоби через гипергеометрическую

349

функцию

§ 2. Группа SL(2, R) вещественных унимодулярных матриц второго порядка

350

1.

Вводные замечания

350

2.

Параметризация

351

3.

Алгебра Ли

353

§ 3. Неприводимые представления группы SL(2, R)

354

1.

Описание

354

2.

Другая реализация представлений Tχ(g)

356

3.

Операторы второй реализации представлений Tχ(g)

358

4.

Инфинитезимальные операторы

361

§ 4. Вычисление ядер представления Rχ(g)

363

1.

Вычисление K(λ,µ;χ;h) и K(λ,µ;χ;u)

363

2.

Случай треугольных матриц

366

3.

Общий случай

368

4.

Некоторые интегральные преобразования, связанные с

368

гипергеометрической функцией

§ 5. Рекуррентные формулы для гипергеометрической функции.

371

Гипергеометрическое уравнение

1.

Соотношения между инфинитезимальными операторами и операторами

371

представления

2.

Рекуррентные формулы

373

3.

Гипергеометрическое уравнение

378

§ 6. Интегральные представления и формула сложения для

379

гипергеометрической функции

1.

Вводные замечания

379

2.

Интегральные представления

380

3.

Преобразование Меллина

384

4.

Теоремы сложения

389

§ 7. Представления группы вещественных матриц второго порядка и

393

функции Ганкеля

1.

Новая реализация представлений Tχ(g)

393

2.

Вычисление ядра оператора Qχ(s)

395

ГЛАВА VIII

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА

§ 1. Функции Уиттекера и вырожденная гипергеометрическая функция

397

1.

Определение

397

2.

Вырожденная гипергеометрическая функция

398

§ 2. Группа треугольных матриц третьего порядка и ее представления

399

1.

Алгебра Ли

399

2.

Разложение по однопараметрическим подгруппам

401

3.

Неприводимые представления группы G1

401

4.

Другая реализация представлений Tχ(g)

402

5.

Инфинитезимальные операторы представлений Rχ(g)

405

6.

Вычисление ядер представлений

405

§ 3. Функциональные соотношения для функций Уиттекера

408

1.

Соотношения между инфинитезимальными операторами и операторами

408

представления

2.

Рекуррентные соотношения

409

3.

Дифференциальное уравнение Уиттекера

411

4.

Соотношения симметрии для функций Уиттекера

413

§ 4. Интегралы, связанные с функциями Уиттекера

415

1.

Представление Меллина — Бернса

415

2.

Преобразование Меллина по параметрам

417

3.

Континуальные теоремы сложения

420

4.

Двойственные формулы

424

5.

Вырожденные случаи теорем сложения

425

§ 5. Многочлены Лагерра и представления группы комплексных

426

треугольных матриц третьего порядка

1.

Определение многочленов Лагерра

426

2.

Группа комплексных треугольных матриц третьего порядка и

428

многочлены Лагерра

ГЛАВА IX

ГРУППА ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И

ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА

§ 1. Группа SO(n)

430

1.

Сферические координаты

430

2.

Описание группы SO(n)

432

3.

Углы Эйлера

433

4.

Инвариантное интегрирование

434

§ 2. Представления класса 1 группы SO(n) и гармонические многочлены

435

1.

Квазирегулярное представление

435

2.

Представления в пространствах однородных многочленов

436

3.

Гармонические многочлены

437

4.

Инвариантность подпространства Gnl

438

5.

Гармоническая проекция многочлена. Представление в пространстве

438

гармонических многочленов

6.

Каноническое разложение однородных многочленов

441

7.

Разложение квазирегулярного представления

442

8.

Разложение сужения представления Tnl(g) на подгруппу SO(n-1)

443

9.

Инфинитезимальные операторы представления Tnl(g)

446

10. Неприводимость представлений Tnl(g)

447

11. Полнота системы представлений Tnl(g)

450

§ 3. Зональные сферические функции представлений Tnl(g) и многочлены

451

Гегенбауэра

1.

Описание зональных сферических функций.

451

2.

Дифференциальное уравнение и рекуррентные соотношения для

453

многочленов Гегенбауэра

3.

Частные случаи и частные значения многочленов Гегенбауэра

455

4.

Соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра

456

5.

Разложение пространства гармонических многочленов

458

6. Построение канонического базиса

460

7.

Разложение функций на n-мерной сфере

462

§ 4. Матричные элементы нулевого столбца

463

1.

Элементы «нулевого столбца» канонической матрицы

463

2.

Теорема сложения для многочленов Гегенбауэра

466

3.

Формула умножения для многочленов Гегенбауэра

468

4.

Реализация представлений Tnl(g) в пространстве функций от n — 1

470

переменного

472

5.

Разложение пространства Unl

6.

Инвариантное скалярное произведение в пространстве Unl

472

7.

Интегральное представление многочленов Гегенбауэра

476

8.

Связь между многочленами Гегенбауэра и присоединенными функциями

478

Лежандра

9.

Некоторые разложения по многочленам Гегенбауэра

481

10. Другие интегральные представления многочленов Гегенбауэра

482

11. Некоторые интегралы, содержащие многочлены Гегенбауэра

483

12. Производящая функция для многочленов Гегенбауэра

486

§ 5. Сферические функции и оператор Лапласа. Полисферические функции

487

1.

Оператор Лапласа на сфере

487

2.

Полисферические координаты

489

3.

Дифференциал длины дуги и оператор Лапласа в полисферических

492

координатах

4.

Собственные функции оператора Лапласа в полисферических

493

координатах

ГЛАВА X

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ n-

МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

§ 1. Псевдоевклидово пространство и гиперболические вращения.

498

1.

Псевдоевклидово пространство.

498

2.

Группа SH(n)

500

3.

Пространство Лобачевского

501

4.

Углы Эйлера в группе SH(n)

503

§ 2. Представления класса 1 группы SH(n)

504

1.

Описание представлений Tnσ(g)

504

2.

Сопряженные представления

506

3.

Неприводимость представлений Tnσ(g)при нецелых σ

508

4.

Приводимость представления Tnσ(g)при целых значениях σ

510

5.

Условия унитарности представления Tnσ(g)

511

6.

Эквивалентность представлений Tnσ(g)

515

§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений

515

класса 1 группы SH(n)