2. Математические методы физики / Сводка формул по специальным функциям

1

dz zx 1e z;

0.z/

D 2 i Z dt t z et ;

0.x/ D Z

1

1

0.x C 1/ D x 0.x/; 0.x/0.1 x/ D

:

sin x

x.1 x/ y00 C hc .a C b C 1/xi y0 ab y D 0:

Разложение в степенной ряд возле x D 0:

x2

F .a; b

c

x/

1

ab

x

a.a C 1/b.b C 1/

: : :

I

I

D

2! C

2 1

C c 1! C

c.c

C

1/

Преобразование Эйлера:

2 F1.a; bI cI x/ D .1 x/ b2 F1

c a; bI cI

x

:

x

1

Интегральное представление:

0.c/

1

tb

1.1 t/c b 1

2 F1.a; bI cI x/ D

Z

dt

:

0.c

b/0.b/

.1 tx/a

x y00 C .c x/ y0 a y D 0:

Разложение в степенной ряд возле x D 0:

F .a

c

x/

lim

F .a; b

c

x=b/

1

a x

a.a C 1/

x2

: : :

D

C c 1!

1 1 I

I

D b

!1

2 1

I

I

C c.c

C

1/ 2! C

1 F1.aI cI x/

D

0.a/0.c

a/ Z

1

dt ta 1.1 t/c a 1ext ;

0.c/

0

Re c

>

Re a > 0 :

F .a

c

x/

0.c/

ex xa c;

x

! C1

;

1 1 I

I

' 0.a/

1 F1.aI cI x/

'

0.c/

. x/ a; x ! 1:

0.c

a/

Разложение в степенной ряд возле x D 0:

J .x/

1

. 1/n.x=2/2nC :

X

D

D

0

n!0.n

C

C

1/

n

.x=

/

1

J .x/ D

2

e ix 1 F1 C

I 2 C 1I 2ix :

0.

1/

2

C

Рекуррентное соотношение:

2

J .x/ D J 1.x/ C J C1.x/:

x

Формулы дифференцирования:

2

d

J .x/ D J 1.x/ J C1.x/ ;

d

dx

x J .x/

D x J 1.x/ :

dx

Интегральные представления Шлефли и Пуассона:

J .x/ D

2 i Z

z C1

exp

2

z z

1

dz

x

1

D

2 eix

sin ' i' sin

1

Z

Z dt e x sh t t :

d'

0

J .x/ D p 0. 2

1=2/

2

=2

Z

d' cos2 .'/ cos .x sin.'//

x

C

0

D p 0. 1

1=2/

2

1

dt eix t .1 t2/ 1=2; Re > 2:

Z

x

1

J1=2.x/

D

r

2

sin x;

J

1=2.x/

r

2

cos x:

x

x

D

1

eix sin D mX eim Jm.x/;

D 1

x

1

1

exp

z

D n X zn Jn.x/:

2

z

D 1

Соотношения ортогональности:

1

dk mm

2

Z dx x Jk. n x/ Jk. m x/ D

2

/

; Jk. m / D 0 ;

nm

d J .

0

1

1

k2

Jk2. m /;

d Jk . m /

Z dx x Jk. n x/ Jk. m x/ D

nm

D 0 :

2

2

d m

0

m

Разложение в степенной ряд возле x D 0:

1

.x=2/2nC

X

I .x/ D

D

0

n!0.n

C

C

1/

:

n

Выражение для K через I , I :

K .x/

D

I .x/ I .x/

:

2 sin

Интегральные представления:

.x=

/

1

I .x/ D

2

Z

dt e xt .1 t2/ 1=2 ; Re > 1=2 ;

p

0.

1=2/

C

1

1

K .x/ D Z

dt e x ch t ch t; Re x > 0 ;

0

1

p

=2 1

K .2p

/ D

Z x 1e px q=x dx; Re p > 0; Re q > 0 :

pq

2

q

0

Асимптотическое поведение:

ex

' r

I .x/ '

;

K .x/

e x ;

x ! C1:

p

2x

2 x

I .x/ '

.x=2/

;

K0.x/ ' ln x;

x ! C0I

0.

C

1/

x

0. /

K .x/

'

;

x ! C0; 6D0:

2

2

Формулы Родрига:

1

dl

Pl .x/ Pl0.x/ D

.x2 1/l ;

2ll!

dxl

m

D .1 x

2

m=2 dm

Pl

.x/

/

Pl .x/ :

dxm

Первые 3 полинома:

P .x/

D

1;

P .x/

D

x;

P .x/

D

3x2 1

:

0

1

2

2

Формулы дифференцирования:

.2l C 1/ Pl .x/

d

d

D

PlC1

.x

/

Pl 1.x/ ;

dx

dx

d

d

l Pl .x/

D x

Pl .x/

Pl 1

.x/ :

dx

dx

Производящие функции:

8 1 rl

1

Pl .x/;

r < 1I

X

>

1 < x < 1:

>

>

D

>

p1 2xr r

2

D

1

1

<

C

l

0

rlC1 Pl .x/; r > 1I

X

>

>

>

D

>

:

0

l

Интегральные представления:

1

dz z

l

1

Pl .x/ D

I

;

2 i

p

1 2xz C z

2

Pl .cos /

D

Z

d' .cos C i sin cos '/l :

1

0

Pl .cos /

'

r

2

sin

l C

21

C 4

;

l

sin

j

1:

l

psin

j

1•Ylm D l.l C 1/Ylm ;

d

i

Ylm D mYlm ;

d'

1

Z

dx e x2 Hm .x/ Hn.x/ D p

2nn! mn :

1

Соотношение полноты:

e .x2Cx0 2/=2 1

Hn.x/ Hn .x0/

X

D

.x

x0

/:

p

2nn!

D

0

n

d

Hn.x/ D 2nHn 1.x/:

dx

Производящая функция:

exp

2xz z2

1 zn

D

n! Hn.x/:

X

n

D

0

L

.x/

D

x ex

dn

e x xnC :

n!

dxn

n

1

m

n

D

n!

mn

Z

dx e

x x L .x/L .x/

0.n C

C 1/

:

0

Соотношение полноты:

1

n!L

.x/L

.x0/

.x x0/:

.xx0/=2e .xCx0 /=2

n

n

X

D

n

D

0

0.n

C

C

1/

d

x

Ln.x/ D nLn.x/ .n C /Ln 1.x/ ;

dx

d

.x/

C1

L

D

L

.x/ :

dx

n

n 1

Производящая функция:

xz

1 D

1

.x/:

.1 z/ 1 exp z

zn Ln

X

n

D

0

Интегральное представление:

1

I

x

n

1 C

t

dt

Ln.x/ D

1 C

e t

2 i

t

x

t

D

. 1/n

I

.1 t/nC