2. Математические методы физики / Специальные функции и теория представления групп

—SO(n) 430, 432

——, инвариантная мера 434

——, инвариантное интегрирование

434

—— I углы Эйлера 433

—SU(2) 106, 107, 111, 112

——, алгебра Ли 110

——, комплексификация 111

——, оператор Лапласа 150

——, характер представления Tl(u)

177 — 179

Групповое кольцо группы 69 Группы локально изоморфные 113 Движение евклидовой плоскости 201

—псевдосвклидовой плоскости 252, 253

—n-мерного евклидова пространства

543

Дерево 489 Дирихле—Мерфи интегральные

представления 164 Зональные сферические функции 45,

315, 452, 516, 547 ~, выражение через функции Бесселя

и гипергеометрические 519, 548 ~, интегральное представление 518 ~ представления Tnl(g) 452 Инвариантная мера на группе SU(2)

166

Интеграл по мере, свойство инвариантности 41

— Фурье функций нескольких переменных 98

Интегральное преобразование Гельфанда—Граева 528, 529

Интегрирование на группе SO(2) 87 Каноническое разложение

многочлена 441 Класс транзитивности 39

Клебша—Гордана коэффициенты, см. коэффициенты Клебша— Гордана

— — ряд 192

Коммутатор 37 Конуса функции 316

Координата существенно предшествующая, последующая

490

Координаты бисферические 483

—гиперболические 500

—орисферические на гиперболоиде

540

—подчиненные 490

—полисферические 489, 491

——, дифференциал дуги 492

—— на гиперболоиде 538

——, связь с декартовыми 492

—сферические 431, 489, 492 Коэффициенты Клебша—Гордана

184

—— —, асимптотическая формула

234

—— —, вычисление 186, 187

—— —, представление в виде суммы 187, 188

—— —, производящая функция 199

—— —, рекуррентные соотношения

196

—— —, связь с функциями Plmn(z)

194

—— —, соотношения симметрии

188 — 190

—— —, частные значения 190

—Лежандра 162

—Фурье свертки 68

—— функции f(ϕ) 88 Кронекера символ 25

Кронекеровское произведение линейных пространств 72

—— операторов 73

—— представлений 33

—— —, разложение на неприводимые представления

182

—— TR(g) 229

Лагерра многочлены 426

—инвариантный относительно преобразований группы 54

—инфинитезимальный 35

—Лапласа 437, 438

—— в полисферических координатах 493

—— в сферических координатах 453

—— на гиперболоиде 538

—— на единичной сфере 152, 488

—— на сфере 487

—перестановочный с представлениями 49

—, разложение в непрерывную прямую сумму операторов 80

—типа Гильберта—Шмидта 74, 75

—эрмитово-сопряженный 28

—∆lm 149, 150

Орисферические функции 542 Ортогональное дополнение подпространства 32

Парсеваля равенство 59

—— для центральных функций 71 Планшереля формула 96 Подгруппа массивная 44

—однопараметрическая 35

—стационарная точки 39 Подпространство дополнительное 30

—инвариантное 29

—тривиальное 29

—Fl 182

Показательная функция 22 Поле величины на сфере 176 Полисферические функции 497 Полная система попарно

неэквивалентных неприводимых унитарных представлений группы 59

Полугруппа 255 Предел в среднем 97

Представление группы 23

—— бесконечномерное 25

—— вполне приводимое 32

—— единичное 23

—— индуцированное 46, 342 —- — класса 1 относительно

подгруппы 44

—— конечномерное 24

——, матричная запись 24, 34

—— неприводимое 29

—— n-мерное 24

—— приводимое 29

—— операторно неприводимое 51

—— оператором сдвига 42

——, разложение в прямую сумму

30

—— регулярное левое, правое 42

—— скрещенных произведений 209

—— сопряженное 27

—— точное 23

—— тривиальное 23

—— унитарное 28

—— —, полная приводимость 32

—— эрмитово-сопряженное 28 Представления группы линейных преобразований прямой 236,

237, 249

—— с операторным множителем 46

—— треугольных матриц третьего порядка неприводимые 401, 404, 405

——, эквивалентные между собой 26

—— M(2) квазирегулярные 219, 221, 224

—— неприводимые 200—201

—— M(2) неприводимые 544

—— MH(2) 253

—— — квазирегулярные 282

—— — неприводимые 257, 258

—— QU(2) индуцированные 342

—— —, инфинитезимальные операторы 298

—— — квазирегулярные 343

—— — неприводимые 295, 299, 307, 308

—— —, приводимость 300

—— — регулярные 332, 340

—— — унитарно сопряженные 306

—— — унитарные основной и дополнительной серий 303— 305

—— — частично эквивалентные 302

—— R 81

—— Rn регулярные 98

—— SH(2) 85

—— SH(n) 504, 505

—— — квазирегулярные 529

—— —, неприводимость 508 Представления группы SH(n), приводимость 510

—— — серий дискретной, дополнительной, основной 514

—— —, сопряженность 506

—— —, унитарность 511, 514

—— —, эквивалентность 515

—— SL(2, C) 118

—— SL(2, R) 354, 356, 362, 393

—— SO(2) 83, 86, 88

—— SO(n) в пространствах гармонических и однородных многочленов 436, 438

—— —, инфинитезимальные операторы 446

—— — квазирегулярные 435, 443

—— — неприводимые 437, 443, 447

—— SU(2), инвариантное скалярное произведение 121

—— —, инфинитезимальные операторы 118

—— — неприводимые 123— 127, 132

—— — регулярные 146, 148, 228

—компактных групп, полная

приводимость 57 Преобразование интегральное

функций на гиперболоиде 534

—Мелера—Фока 537

—Меллина 104

——, аналог формулы Планшереля

104

——, формула обращения 104

—— функции Rλ(g)ϕ(x) 240

—множества 38

—функций с интегрируемым квадратом 101

—Фурье 91, 93, 96

—— в комплексной области 99

——, формула обращения 93 — 95

—— функций нескольких переменных 98

—— — с интегрируемым квадратом

98

—— — x−u и x+u 249

—Фурье-Бесселя 222, 224

—— —, аналог формулы Планшереля 222

—— —, формула обращения 222 Присоединенные сферические

функции 45, 137, 175, 516, 549

—— —, вычисление 520, 522

—— —, интегральное представление

517

—функции Лежандра 133, 134, 135

—— —9 дифференциальное

уравнение 145 Присоединенные функции Лежандра,

ортогональность 168

—— —, производящая функция 162

—— —, рекуррентные соотношения

144

Произведение гильбертовых пространств тензорное 75

—групп скрещенное (полупрямое) 203

—линейных пространств кронекеровское (тензорное) 72

—операторов кронекеровское

(тензорное) 73, 76

— представлений кронекеровское (тензорное) 33

Производящая функция 154 Пространство гильбертово 77

— инвариантное относительно движений 41

—линейное n-мерное 98

—— унитарное 74

—Лобачевского 501, 502

——, инвариантное интегрирование по орисфере 527, 528

—однородное 39

—однородных гармонических многочленов 437, 438, 460

—— многочленов 117, 436, 439, 443

—полное 77

—представления 24

—псевдоевклидово 498

—сопряженное 27, 72

—счетно-гильбертово 77

—ядерное 77

—βnσ 504

—Dχ 295, 296

—G1 G2 182

—βnl, канонический базис 460, 462

—L2(Sn-1) 435

—Sµ 229

Прямая сумма гильбертовых пространств непрерывная 79

~ ортогональная 78 Псевдоевклидова плоскость 251

——, аналог полярной системы координат 252

——, расстояние между точками 252 Псевдосфера 499 —, расстояние между точками 501

Разложение по многочленам Гегенбауэра 481

—по функциям Plmn(x) 170, 172

Разложение по функциям Якоби 336

—полей на сфере 176

—произведений функций Plmn(z) 192

—функций на группе SU(2) 166, 172, 174

—— на однородных пространствах

65

—— на сфере 175

Ряд Клебша Гордана 192

— Фурье 88, 89

—— на компактных группах 58 Свертка функций 68 Символ Вигнера 189 Символическая степень 194 Система функций

ортонормированная 169 След матрицы 34 Специальные функции

математической физики 13 Сужение представления 29 Сумма подпространств прямая 30

—представлений прямая 30

~ ортогональная 31 Сфера 40

— единичная S2 116

Сферические зональные функции, см. зональные сферические функции

—координаты 431, 489, 492

—присоединенные функции, см. присоединенные сферические функции

—функции 44

Сходимость в среднем 97

—матриц 56 Тригонометрические функции 83 Углы Эйлера 107

—— вращений 113, 114, 434

—— гиперболического вращения

504

—— комплексные 112

—— произведения двух матриц 108 Уиттекера дифференциальное

уравнение 411, 412

—функции 397, 398

——, двойственные формулы 424

——, дифференциальное уравнение

411

——, континуальные теоремы сложения 421, 425

——, представления Меллина— Бернса 416

——, преобразования Меллина по параметрам 418

Уиттекера функции, разложение в ряд 398

——, рекуррентные соотношения

409 — 411

——, соотношения симметрии 413 Условно периодическая функция 93 Фактор-пространство 29 Финитная функции 99 Формула, см. соответствующее

название

Фундаментальная последовательность элементов

77

Функции, см. соответствующее название

—на окружности четная, нечетная

296

—Plmn(z) 128,145

——, дифференциальное уравнение

145, 150

——, интегральные представления

129, 161

——, производящие функции 155, 162

——, разложение в ряды по

—— 170 172

——, — их произведений 192

——, — по присоединенным функциям Лежандра 193

——, рекуррентные соотношения

143, 148, 153, 156 — 159, 194

——, связь с коэффициентами Клебша—Гордана 194

——, с многочленами Якоби 133

——, соотношения обхода 132

——, — ортогональности 168

——, — симметрии 130

——, теорема сложения 138

——, формула умножения 140

——, частные значения 129

—x−u−1 и x+u−1 249

Фурье коэффициенты 88

— преобразование 91, 93, 96

— ряд 88, 89

Фурье—Бесселя преобразование 222 Хансена формула 214 Характер представления 34 Целая аналитическая функция

экспоненциального типа 100 Центральная функция 69, 181

——, разложение в ряд 70, 71, 181 Цилиндрические функции 268

——, дифференциальное уравнение

269

Чебышева многочлен первого рода

141

Шура лемма 51, 52 Эйлера углы, см. углы Эйлера

— формулы 83 Эквивалентность представлений 26 Эрмита многочлены 555

——, дифференциальное уравнение

556

—— как предел многочленов Гегенбауэра 555

——, производящая функция 557

——, рекуррентные соотношения

556

——, соотношения ортогональности

559

——, формулы сложения и

умножения 557, 558 Якоби многочлены 133

Якоби многочлены, выражение через гипергеометрическую функцию

349

——, ортогональность 169

——, связь с функциями Бесселя 233

—функции 310

——, выражение через гипергеометрическую 350

——, дифференциальное уравнение

328, 334

——, интегральные представления

310, 311 — 314

——, производящая функция 329

——, — — континуальная 331