Расстояние и отклонение точки от плоскости

Пусть – плоскость, заданная уравнениеми– произвольная точка пространства. Тогдарасстояние от точкидо плоскостивыражается формулой

(10)

В знаменателе этой дроби стоит длина вектора – нормального вектора плоскостиТаким образом,чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо подставить координаты точки в уравнение плоскости и разделить полученное число на длину нормального вектора; при этом мы получим число, которое может быть отрицательным – в этом случае берём его по абсолютной величине.

Если в формуле (10) убрать знак модуля, то мы получим величину

(11)

называемую отклонением точки от плоскости

Очевидно, и

Замечание. Определённое по формуле (11) отклонение отличается от того отклонения, которое принято в ряде учебников (а именно,еслииесли). Мы будем пользоваться формулой (11).

Геометрический смысл отклоненияточки от плоскости точно такой же, как у отклонения точки от прямой на плоскости (см. раздел “Прямая на плоскости”). А именно,отклонение по абсолютной величине равно расстоянию, причём если точканаходится от плоскостипо ту сторону, в которую направлен нормальный векториесли она находится по другую сторону(см. рис. 11).

Рис.11.

Разберём задачи на расстояния и отклонения.

Задача 16. Найти расстояние между плоскостямии

Решение.Плоскости параллельны, так как их нормальные векторыиколлинеарны:Поэтому расстояние между этими плоскостями равно расстоянию от какой-нибудь точки первой плоскости до второй плоскости. Возьмём точку первой плоскости:Тогда

Задача 17.В прямоугольном параллелепипедеНайти расстояние от вершиныдо плоскости

Решение.Введём систему координат с началомкак показано на рисунке 12.

Рис.12.

Используя формулу (4), мы можем записать уравнение плоскости “в отрезках”:

(12)

Нам требуется найти расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением (12). Перенесём единицу в левую часть равенства:Применим формулу (10):

Задача 19. Определить, лежит ли точка между плоскостямии

Решение.Обозначим эти плоскости черезиТак как плоскости имеют один и тот же нормальный вектор и не совпадают (это видно из уравнений плоскостей), то плоскости параллельны. Вычислим по формуле (11) отклонения:

Так как отклонения одного знака, то точка не лежитмежду плоскостями (см. рис. 13).

Рис.13.

Задача 20.Даны плоскостии точкиОпределить, точкиилежат внутри одного, смежных или вертикальных углов, образованных плоскостямии

Решение.Вычисляем отклонения:

–

значит, илежат по одну сторону от плоскости

–

значит, илежат по разные стороны от плоскостиОтсюда следует, чтоилежат внутрисмежныхдвугранных углов.

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть – прямая с направляющим вектороми– точка прямой(см. рис. 14).Расстояние от точки до прямойвыражается формулой

(13)

Рис.14.

Пусть – скрещивающиеся прямые,– их направляющие векторы и– какие-либо точки, лежащие на прямыхсоответственно (см. рис. 15).Расстояние между скрещивающимися прямыми можно вычислить по формуле

(14)

Рис.15.

Замечание. Если прямыепересекаются (но не совпадают), то формула (14) к ним также применима и она показывает, что расстояние между прямыми равно 0.По формуле(14)нельзя вычислять расстояния между параллельными прямыми.

Задача 21. Найти расстояние от точкидо прямой

Решение.Из уравнения прямой найдём её направляющий вектор и точку:иОтсюдаПо формуле (13) получим:

Задача 22.Найти расстояние между прямымии

Решение. Обозначим данные прямыеиПрямые параллельны, они имеют один и тот же направляющий векторпоэтому формулу (14) применять нельзя. Применим формулу (13), т.е. найдём расстояние от точки одной прямой до другой прямой. Имеем:Отсюдапо формуле (13) получаем:

Задача 23. Найти расстояние между прямымии

Решение.Обозначим данные прямыеиНаправляющий вектор прямойравенПрямаяпараллельна осипоэтому за направляющий вектор этой прямой можно взять векторТак както можно применять формулу (14). В качестве точекэтих прямых возьмёмиПо формуле (14) получаем:

Задача 24.Ребро куба равноНайти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Решение(см. рис. 16).

Рис.16.

Будем временно считать, что ребро куба равно 1, затем полученную величину умножим на Вычислим расстояние между прямымии(другие диагонали дадут такой же результат). Введём систему координат, как показано на рисунке. Имеем:Направляющие векторыпрямых равны:По формуле (14) получаем:

Следовательно,

Задача 25.Выяснить взаимное расположение плоскостейи

Решение. Нормальные векторы этих плоскостей равны:Вычислим их смешанное произведение:Таким образом, векторыкомпланарны. Так как никакие два из этих векторов не коллинеарны, то возможны следующие варианты взаимного расположения плоскостей (см. рис. 17): (а) плоскости попарно пересекаются по трём параллельным прямым, (б) плоскости проходят через одну прямую.

Рис. 17

Чтобы различить эти две ситуации, решим систему уравнений

Из первого уравнения Подставим во второе:откудаа значит,Подставим в третье уравнение:т.е.что невозможно. Таким образом, система решений не имеет, т.е. плоскости не имеют общей точки, а значит, имеет место случай (а).

Задача 26.Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от прямыхи

Решение.Обозначим данные прямые черезиПрямые имеют один и тот же направляющий векторзначит, они параллельны или совпадают. Возьмём по одной точке этих прямых:Так кактои– различные параллельные прямые. Проведём плоскостьчерез прямыеив этой плоскости проведём прямуюпосередине междуиа затем через прямуюпроведём плоскостьперпендикулярную плоскости(см. рис. 18).

Рис. 18

Очевидно, плоскость – это и есть искомое геометрическое место точек, равноудалённых от прямыхиНормальным вектором плоскостиможет служить вектор

Нормальный вектор плоскостиперпендикулярен векторамипоэтому можно взять

В качестве точки плоскости можно взять точку– середину отрезкаИмеем:Подставив в формулу (4), получим:или

28