Задание 1.

Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном базисе i, j, k.

Показать,что векторы a, b, c тоже образуют базис и найти координаты вектора

x в базисе a, b, c.

x = (−15; −5; 6), a = (0; 5; 1), b = (3; 2; −1), c = (-1; 1; 0).

>> x=[-15 5 6]

x =

-15 5 6

>> a=[0 5 1]

a =

0 5 1

>> b=[3 2 -1]

b =

3 2 -1

>> c=[-1 1 0]

c =

-1 1 0

>> A=[a;b;c]

A =

0 5 1

3 2 -1

-1 1 0

>> z=det(A)

z =

10.0000

так как определитель не равен 0, то значит a,b,c образуют базис

>> A1=[x;b;c]

A1 =

-15 5 6

3 2 -1

-1 1 0

>> A2=[a;x;c]

A2 =

0 5 1

-15 5 6

-1 1 0

>> A3=[a;b;x]

A3 =

0 5 1

3 2 -1

-15 5 6

>> x1=det(A1)/z

x1 =

2

>> y1=det(A2)/z

y1 =

-4

>> z1=det(A3)/z

z1 =

3

координаты вектора х в базисе a,b,c:

{2,-4,3}

Задание 2.

2. Даны координаты точек A, B, C, D в правой прямоугольной системе

координат. Вычислить в формате rational: а)проекцию вектора AB на вектор

AD; б)площадь треугольника ABC; изобразить плоскость треугольника АВС,

изобразить векторы, участвующие в векторном произведении и результат

этого векторного произведения; как векторное произведение связано с площадью

треугольника АВС; в)объем тетраэдра ABCD. A = (1; 2; 0), B = (3; 0; -3), C =

(5; 2; 6), D = (8; 4; −9).

A=[1 2 0]

A =

1 2 0

>> B=[3 0 -3]

B =

3 0 -3

>> C=[5 2 6]

C =

5 2 6

>> D=[8 4 9]

D =

8 4 9

>> AB=B-A

AB =

2 -2 -3

>> AD=D-A

AD =

7 2 9

>> lAB=sqrt(AB(1)^2+AB(2)^2+AB(3)^2)

lAB =

4.1231

>> lAD=sqrt(AD(1)^2+AD(2)^2+AD(3)^2)

lAD =

11.5758

>> format rational

>> cosADAB=(AB(1)*AD(1)+AB(2)*AD(2)+AB(3)*AD(3))/(lAB*lAD)

cosADAB =

-556/1561

>> lAB=sqrt(AB(1)^2+AB(2)^2+AB(3)^2)

lAB =

2177/528

>> lAD=sqrt(AD(1)^2+AD(2)^2+AD(3)^2)

lAD =

4503/389

>> prAB=lAB*cosADAB

prAB =

-1589/1082

>> AC=C-A

AC =

4 0 6

b)>> v=cross(AB,AC)

v =

-12 -24 8

>> lv=sqrt(v(1)^2+v(2)^2+v(3)^2)

lv =

28

>> S=lv/2

S =

14

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> axis square

>> line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')

>> box on

>> line([1 3],[2 0],[0 -3],'linewidth',4,'color','b')

>> line([A(1) C(1)],[A(2) C(2)],[A(3) C(3)],'linewidth',4,'color','b')

>> plot3(B(1),B(2),B(3),'ob','linewidth',4)

>> plot3(C(1),C(2),C(3),'ob','linewidth',4)

>> line([B(1) C(1)],[B(2) C(2)],[B(3) C(3)],'linewidth',4,'color','b')

>> line([A(1) v(1)],[A(2) v(2)],[A(3) v(3)],'linewidth',4,'color','b')

>> text(1,4,0,'A(1,2,0)','Color','b')

>> text(4,-1,-3,'B(3,0,-3)','Color','b')

>> text(4,-1,-4,'B(3,0,-3)','Color','b')

>> text(6,3,5,'C(5,3,6)','Color','b')

>> text(6,4,5,'C(5,3,6)','Color','b')

>> text(6,4,5,'C(5,3,6)','Color','b')

c) Площадь параллелепипеда равна смешанному произведению векторов AB,AD,AC.

smp-смешанное произведение. SV-объём тетраэдра.

>> smp=sum(AC.*cross(AB,AD))

smp =

60

>> SV=smp/6

SV =

10

Задание3.

Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.

2x1 + 5x2 -4x3 = 1,

-1x1 + 3x2 - 2x3 = -3,

3x1 - 2x2 + 4x3 = 12

>> a=[2;-1;3]

a =

2

-1

3

>> b=[5;3;-2]

b =

5

3

-2

>> c=[-4; -2; 4]

c =

-4

-2

4

>> d=[1;-3;12]

d =

1

-3

12

>> D=[a b c]

D =

2 5 -4

-1 3 -2

3 -2 4

>> D1=[d b c]

D1 =

1 5 -4

-3 3 -2

12 -2 4

>> D2=[a d c]

D2 =

2 1 -4

-1 -3 -2

3 12 4

>> D3=[a b d]

D3 =

2 5 1

-1 3 -3

3 -2 12

>> X1=det(D1)/det(D)

X1 =

2

>> X2=det(D2)/det(D)

X2 =

1

>> X3=det(D3)/det(D)

X3 =

2

Проверка

> f=2*X1+5*X2-4*X3

f =

1

>> f=-X1+3*X2-2*X3

f =

-3

>> f=3*X1-2*X2+4*X3

f =

12