Примерами -алгебр â Rn может служить класс измеримых по Лебегу множеств , а также класс борелевских множеств B. Ясно также, что мера Лебега полна и -конечна.

2.4Измеримые функции и интеграл

Начнем с предварительного обсуждения понятия интеграла в том виде, в котором оно было предложено первоначально Лебегом. Потом мы будем пользоваться другим определением, которое удобнее в техническом плане. Однако лебеговское определение обладает большой наглядностью и хорошо иллюстрирует отличие от интеграла Римана, поэтому мы решили начать с него.

Интуитивно интеграл от положительной функции f(x) по отрезку [a; b] - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a; x = b; y = 0 и графиком функции. В интеграле Римана область определения разбивается на малые промежутки

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b;

в результате вся фигура разбивается на полоски, которые приближенно принимаются за прямоугольники с основанием xi = [xi; xi+1) и высотой, равной значению функции f( i) в точке i 2 xi; выбранной произвольно. Площадь трапеции тогда равна приближенно сумме площадей прямоугольников, и далее делается предельный переход при мелкости разбиения max j xij стремящейся к нулю. Недостаток такого определения в том, чтоплохая функция может сильно меняться даже на малых промежутках. Это приводит к большому разбросу значений высоты f( i), а это в свою очередь приводит к несовпадению максимальной и минимальной площади при варьировании высот прямоугольников. Типичный пример - функция Дирихле на отрезке [0; 1], равная 0 при x иррациональных и 1 при x раци-

ональных. Как известно, такая функция не интегрируема по Риману. Упражнение 2.4.1 Доказать этот факт.

Лебег предложил разбивать на промежутки не область определения, а область значений функции. Считая функцию ограниченной 0 f(x) c,

рассмотрим разбиение

0 = y0 < y1 < y2 < : : : < yn = c:

Пусть

Mi = fyi f(x) < yi+1g

множество, на котором функция принимает значение в промежутке yi. Â качестве элементарной площади возьмем произведение yi (Mi), ãäå (Mi) - мера множества Mi, а интегральная сумма Лебега будет иметь вид

X

yi (Mi):

i

к нулю. Здесь уже по самой конструкции исключаются большие разбросы значений функции на множествах Mi даже для плохих функций. Неприятность теперь находится в другом месте: множества Mi могут быть до- вольно сложными, следовательно, необходима развитая теория меры (теория Лебега), чтобы (Mi) были определены. Конечно остается условие - множества Mi должны быть измеримыми.

Определение 2.4.2 Функция f(x) называется измеримой, если для любого c 2 R множество

fx : f(x) < cg = f 1(( 1; c))

измеримо.

Поскольку класс измеримых множеств замкнут относительно дополне-

íèÿ, òî

f 1([c; +1)) = f 1(( 1; c))

тоже измеримое множество. Множество

f 1([c; d)) = f 1(( 1; d)) \ f 1([c; +1))

также измеримо как пересечение измеримых множеств.

Упражнение 2.4.3 Пусть B - семейство борелевских множеств на прямой R. Доказать, что для измеримой функции f(x) прообразы борелевских множеств измеримы.

Упражнение 2.4.4 Доказать, что функция Дирихле измерима.

Упражнение 2.4.5 Доказать, что интегральные суммы Лебега для функции Дирихле имеют предел при мелкости разбиения стремящейся к нулю.

Если функция f(x) непрерывна, то прообраз открытого множества ( 1; c)

является открытым, а значит, измеримым множеством. Таким образом непрерывные функции измеримы. Обратное неверно (например, функция Дирихле). Измеримые функции, как мы увидим, образуют довольно широкий класс, замкнутый относительно обычных операций математического анализа, в том числе и относительно операции предельного перехода. Для непрерывных функций это не так - предел последовательности непрерывных функций может быть разрывной функцией.

Пример неизмеримой функции построить сложно, во всяком случае эффективных примеров неизвестно. Однако, располагая неизмеримым множеством Z (см. раздел 2.1) можно легко построить и неизмеримую функцию.

Упражнение 2.4.6 Пусть Z(x) - характеристическая функция множества Z, равная 1 при x 2 Z и равная 0 при x 62Z. Доказать, что она

неизмерима.

2.4.1Свойства измеримых функций

Мы будем говорить о мере Лебега в Rn, хотя все остается справедливым для любого пространства с мерой (X; ; ) при условии, что мера полна и-конечна.

Определение 2.4.7 Будем говорить, что какое-либо утверждение выполняется почти всюду (п.в.) (или для почти всех x, или на множестве полной меры), если множество тех x 2 Rn, где оно не выполнено, имеет

ìåðó 0.

Определение 2.4.8 Две функции f(x) и g(x) будем называть эквивалентными и писать f(x) g(x), если f(x) = g(x) почти всюду, т.е., множество тех точек f(x) или g(x) не определены или не равны, имеет меру 0.

Понятие измеримости легко обобщается на функции, определенные по- чти всюду. Для этого нужно функции доопределить любым способом (например, нулем). Множества ff(x) < cg могут измениться при этом только

на множества нулевой меры, что не влияет на измеримость.

Теорема 2.4.9 Пусть последовательность измеримых функций fk(x) сходится п.в. к функции f(x). Тогда f(x) измерима,

Доказательство. Можно считать, что все функции fk(x) определены всюду, а не п.в. В противном случае мы доопределяем их нулями, что не влияет на измеримость. Можно также считать, что последовательность gk(x), сходится всюду, чего опять-таки можно добиться переопределив fk(x) и f(x) нулями в точках, где последовательность расходится.

В этих предположениях докажем равенство

Òàê êàê f(x) = limk!1 fk(x), то, беря " = c 1=n f(x), получим из определения предела, что существует m такое, что для всех k > m выполняется неравенство

1

fk(x) f(x) < c n f(x);

а это и означает, что x принадлежит правой части равенства (2.4.1). Обратно, пусть x принадлежит правой части (2.4.1). Тогда неравенство

(2.4.2) выполняется при k > m. Переходя в нем к пределу при k ! 1,

получим

f(x) c n1 :

Так как результат не зависит от m, то объединение по m дает то же мно-

а объединение по n дает множество ff(x) < cg, что и доказывает (2.4.1). Поскольку множества ffk(x) < c 1=ng измеримы по условию, а опера-

ции счетных пересечений и объединений не выводят из класса измеримых множеств, значит множество в левой части (2.4.1) измеримо.

Следующее определение подсказано интегральными суммами Лебега.

Определение 2.4.10 Назовем функцию f(x) простой, если существу-

ет разбиение

1

Rn = [ Mi; i=1

ãäå Mi - непересекающиеся измеримые подмножества конечной меры, на каждом из которых функция принимает постоянное значение

f(x) = yi; x 2 Mi:

Отметим, что yi è yj не обязательно различны при i 6= j.

Упражнение 2.4.11 Простая функция измерима.

Теорема 2.4.12 Функция f(x) измерима тогда и только тогда, когда

она является пределом монотонно возрастающей и равномерно сходящейся последовательности простых функций. Если f(x) 0, то fk(x) 0.

Доказательство. Разобьем Rn на единичные кубы, и будем вести даль-

нейшие построения в фиксированном кубе. Пусть f(x) измерима. Разобьем ось y на промежутки 2km ; k2+1m , и пусть

Определим последовательность простых функций fm(x), полагая

k

fm(x) = 2m ; x 2 Mmk;

32 ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

если множество Mmk непусто. Ясно, что fm(x) - простые функции и что

1 jfm(x) f(x)j < 2m ;

откуда следует равномерная сходимость fm(x) к f(x). При переходе от m к m + 1 каждый промежуток делится пополам:

соответственно Mmk = M(m+1) 2k [ M(m+1) (2k+1). Ïðè ýòîì

k fm(x) = fm+1(x) = 2m ;

åñëè x 2 M(m+1) 2k è

ïðè x 2 M(m+1) (2k+1).

В обратную сторону утверждение следует из теоремы 2.4.9, так как предел последовательности измеримых функций есть измеримая функция.

Следствие 2.4.13 Арифметические действия над измеримыми функциями дают измеримые функции.

Доказательство. Рассмотрим, например, произведение f(x)g(x). Так как f(x) и g(x) измеримы, то существуют последовательности простых функций fn(x) è gn(x), сходящиеся к f(x) и g(x) соответственно. Можно считать, что множества постоянства для fn è äëÿ gn îäíè è òå æå. Äåé- ствительно, пусть fn постоянна на множествах Mni, à gn - на множествах Nnj, тогда всевозможные пересечения Knij = Mni\Nnj дают счетное разби- åíèå Rn, ïðè ýòîì è fn è gn принимают постоянные значения на множествах Knij. Таким образом, fn(x)gn(x) - последовательность простых функций, ее предел равен f(x)g(x). Тогда по теореме 2.4.9 произведение является измеримой функцией.

Замечание 2.4.14 Прием, когда с помощью пересечений строят разбиение, так что обе заданные функции постоянны на множествах разбиения, применяется довольно часто. Он легко обобщается на произвольное конеч- ное число функций.