XX

(Qok) (Qk) < ":

k=1 k=1

Множество Ac = [Ni=1 Pi A компактно (замкнуто и ограничено), а Qok

образуют его открытое покрытие. По лемме Гейне - Бореля существует конечное подпокрытие множествами Qok; k = 1; 2 : : : M. Имеем

(A) " (Ac) (Qok) (Qok)

k=1 k=1

1

X

(Qk) + " m (A) + 2":

k=1

Отсюда m (A) (A) 3": В силу произвольности " получаем требуемое

неравенство.

Если бы верхняя мера обладала свойством счетной аддитивности вместо более слабого свойства субаддитивности, то ее можно было бы принять за меру Лебега, и все было бы закончено. Мы знаем, однако, что так быть не может (см. параграф 2.1), так как в этом случае все множества оказались бы измеримыми. Замечательно, что если верхнюю меру рассматривать не на всех множествах, а на некотором классе , то за счет выбора этого класса

можно добиться, что будут выполняться все нужные свойства. Множества, принадлежащие классу , будут называться измеримыми по Лебегу, а их

верхняя мера - мерой Лебега.

2.3Измеримые множества

Первоначально понятие измеримости, введенное Лебегом, имело следующий вид. Полагая, что A - ограниченное множество, заключим его в клетку

P и введем нижнюю (внутреннюю) меру Лебега равенством

m (A) = (P ) m (P \ A):

Измеримость по Лебегу означает, что верхняя и нижняя меры совпадают. Это требование можно переписать в виде

(P ) = m (A) + m (P \ A):

Далее, так как A P , то A = P \ A. В силу нормировки верхней меры(P ) = m (P ), так что последнее равенство перепишется так

m (P ) = m (P \ A) + m (P \ A):

Это равенство в свою очередь эквивалентно неравенству

m (P ) m (P \ A) + m (P \ A);

так как противоположное неравенство всегда выполнено в силу субаддитивности верхней меры.

Мы модифицируем определение Лебега, заменив клетку произвольным множеством и отбросив требование ограниченности.

Определение 2.3.1 Множество A называется измеримым по Лебегу, если для любого множества E выполняется неравенство

Так как противоположное неравенство всегда выполнено по свойству субаддитивности, то (2.3.1) эквивалентно равенству

Класс измеримых множеств будет обозначаться .

2.3.1Свойства измеримых множеств

1. Свойство дополнения. Если A 2 , то и A 2 . Это очевидно, так как

определение измеримости симметрично относительно A и A.

2.Инвариантность относительно сдвигов. Это свойство также очевидно, поскольку операции пересечения и дополнения инвариантны.

3.Свойство пересечения. Если A; B 2 , то A \ B 2 .

Пусть E - произвольное множество. Так как A измеримо, то

m (E) m (E \ A) + m (E \ A):

Так как B измеримо, то в силу (2.3.1)

m (E \ A) m (E \ A \ B) + m (E \ A \ B);

а также

m (E \ A) m (E \ A \ B) + m (E \ A \ B);

откуда, складывая, получим

m (E) m (E \ A \ B)

+m (E \ A \ B) + m (E \ A \ B) + m (E \ A \ B):

Последние три слагаемых по свойству субаддитивности оцениваются снизу числом

m ((E \ A \ B) [ (E \ A \ B) [ (E \ B \ A)) = m (E \ ((A \ B) [ (A \ B) [ (A \ B)):

Но, как нетрудно видеть,

(A \ B) [ (A \ B) [ (A \ B) = A [ B = A \ B;

что и дает измеримость A \ B.

4. Конечная аддитивность . Так как A \ B = A [ B, то из свойств 1 и 3 вытекает, что объединение двух измеримых множеств A и B измери-

мо. Кроме того, для непересекающихся измеримых множеств имеет место

свойство аддитивности

m (E \ (A [ B)) = m (E \ A) + m (E \ B)

для любого множества E.

Для доказательства применим равенство (2.3.2), взяв в качестве E множество E \ (A [ B):

m (E \ (A [ B)) = m (E \ (A [ B) \ A) + m (E \ (A [ B) \ A):

Так как A и B не пересекаются, то (A [ B) \ A = A и (A [ B) \ A = B,

откуда и следует требуемое равенство.

По индукции это свойство обобщается на конечные объединения непересекающихся измеримых множеств A = [Ni=1 Ai

5. Счетная аддитивность. Это важнейшее свойство измеримых мно-

жеств формулируется так:

Åñëè Ai измеримы и попарно не пересекаются, то A = [1i=1 Ai измеримо

множество, то для любого множества E имеем

m (E) m (E \ AN ) + m (E \ AN )

N

X

m (E \ Ai) + m (E \ A):

i=1

Здесь мы воспользовались конечной аддèòèвностью (2.3.3), а также монî- тонностью верхней меры, заменив E \ AN меньшим множеством E \ A. Устремляя N ! 1 и пользуясь субаддитивностью верхней меры, получим

1

X

m (E) m (E \ Ai) + m (E \ A)

i=1

m (E \ A) + m (E \ A);

24 ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

откуда следует измеримость A. Если в этом неравенстве взять E = A, то, поскольку A \ Ai = Ai; A \ A = ;, будем иметь

1

X m (A) m (Ai):

i=1

Поскольку противоположное неравенство следует из субаддитивности верхней меры, мы приходим к (2.3.4).

6. Нормировка. Клеточное множество измеримо.

Поскольку клеточное множество - это конечное объединение непересекающихся клеток, то достаточно доказать, что клетка - измеримое множество.

Пусть Q - данная клетка, E - произвольное множество. Докажем, что

m (E) m (E \ Q) + m (E \ Q):

Если m (E) = 1, то неравенство выполнено. Если же m (E) < 1, то по определению инфимума для любого " > 0 существует счетное покрытие E клетками Pi, такое что

1

X m (E) + " (Pi):

i=1

Заметим, что Pi \ Q È Pi \ Q - клеточные множества, и для их мер выполняется свойство конечной аддитивности

(Pi) = (Pi \ Q) + (Pi \ Q):

Учитывая также, что мера клеточного множества совпадает с его верхней мерой, получим

11

XX

m (E \ Q) + m (E \ Q):

Здесь мы воспользовались субаддитивностью верхней меры и ее монотонностью, учитывая, что E [1i=1 Pi. Поскольку " произвольно, получаем

нужное неравенство.

Следующее определение завершает построение теории меры.

Определение 2.3.2 Верхняя мера измеримого множества называется его мерой Лебега и обозначается (A) вместо m (A).

Из сказанного выше следует, что мера Лебега на классе измеримых множеств обладает свойствами 1 - 4 из 2.1.