6.5Формула Стоуна

Конструкция спектральной функции, которую мы дали в предыдущем разделе, достаточно громоздка и неудобна для практических применений. Формула Стоуна, выражающая спектральную функцию через резольвенту, служит удобным инструментом для явного построения спектральной функции.

В частности, из нее следует единственность.

Нам понадобится интегрировать резольвенту R( ) = ( A) 1

турам, принадлежащим резольвентному множеству (A). Определение ин-

теграла для операторнозначных функций копируется с определения для скалярных функций: кривая C разбивается точками деления 0; 1; : : : ; n, упорядоченными в соответствии с ориентацией, на каждой дуге разбиения выбирается произвольно точка i и составляется интегральная сумма. Интегралом называется предел (по норме) интегральных сумм

Zn

X

R( )d = lim R( i)( i i 1)

Ci=1

при max j j ! 0. Так как R( ) разлагается в степенной ряд ( 0), сходящийся равномерно в достаточно малом круге, то интеграл по контуру в круге сходимости можно считать, интегрируя степенной ряд почленно. В частности, интеграл по замкнутому контуру в круге сходимости равен 0. Другими словами, для резольвенты выполняется теорема Коши "в малом т.е., внутри круга сходимости.

Упражнение 6.5.1 Доказать теорему Коши "в большом": пусть R( )

к каждой из них теорему Коши "в малом".

Пусть теперь A - самосопряженный оператор. Пусть [a; b] - отрезок, содержащий спектр оператора строго внутри, т.е.,

a < m A M < b;

где m; M нижняя и верхняя грани оператора, и пусть 2 [a; b] - произволь-

ная точка. Рассмотрим интеграл I" от резольвенты по контуру C", состоя- щему из двух отрезков, параллельных действительной оси: [a i"; i"] и

[ + i"; a + i"], " > 0. В более явном виде это выражение запишется следующим образом.

=" Z ((t A)2 + "2) 1dt:

a

В частности, в точках непрерывности спектральной функции этот предел равен E( ).

Доказательство. Обозначим для краткости

При " ! +0 эта функция стремится к f+0( ), равной 0 при < a и > , равной 1 при a < < и равной 1=2 при = a и = . При этом, если убрать произвольные окрестности точек a и , то стремление будет

равномерным.

Рассмотрим соответствующие квадратичные формы

Z b

(I"x; x) = f"dg( );

a

где g( ) = (E( )x; x) - монотонно возрастающая скалярная функция. До-

кажем сначала существование предела у квадратичных форм.

Поскольку g( ) монотонно возрастает, то множество ее точек разрыва не

более, чем счетно, и все разрывы - это скачки. Следовательно, множество точек непрерывности плотно на [a; b]. Пусть сначала - точка непрерыв-

ности g( ). Возьмем произвольно > 0 и разобьем интеграл на 4 части:

I1; I2; I3; I4 по промежуткам

[a; a + ); [a + ; ]; ( ; + ); [ + ; b]

соответственно. Тогда I1 = 0, поскольку g( ) = 0 на первом промежутке,

Z +

jI3j = f"( )dg( ) g( + ) g( ):

Мы воспользовались здесь монотонностью функции g( ), а также неравенствами 0 < f"( ) < 1. Отметим, что за счет выбора оценку интеграла

130 ГЛАВА 6. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

I3 можно сделать сколь угодно малой независимо от ". В интегралах I2 è I4 при фиксированном можно перейти к пределу при " ! +0, так как подынтегральная функция равномерно стремится к предельной функции на отрезках [a + ; ] и [ + ; b]: Это дает

Z

I2 ! 1dg( ) = g( );

a+

Z b

I4 ! 0dg( ) = 0:

+

Отсюда следует, что (I"x; x) ! g( ) при " ! +0. Действительно, пользуясь непрерывностью g в точке , для данного > 0 выберем > 0 так, чтобы jg( + ) g( )j < и jg( ) g( )j < . Затем, зафиксировав , выберем "0 так, чтобы jI4j < è jI2 g( )j < ïðè 0 < " < "0. Тогда j(I"x; x) g( )j < 4 ïðè 0 < " < "0, что и доказывает наше утверждение.

Если - точка разрыва функции g( )< то введем функцию скачка g0( ), равную 0 при < и равную g( +0) g( 0) при . Тогда g( ) g0( ) будет непрерывной в точке . Интеграл представится тогда в виде

Z b Z b

(I"x; x) = f"( )dg0( ) + f"( )d(g( ) g0( )):

aa

Òàê êàê g( ) g0( ) монотонна и непрерывна в точке , то по доказанному второй интеграл стремится к g( ). Что касается первого интеграла, то его можно вычислить явно. Он равен

f"( )(g0( + 0) g0( 0)) = g( + 0) g( 0); 2

что и дает требуемый результат.

Из сходимости квадратичных форм следует сходимость билинейных форм, поскольку билинейная форма самосопряженного оператора однозначно восстанавливается по его квадратичной форме

4(Ax; y) = (A(x + y); (x + y)) + (A(x y); (x y))

i(A(x + iy); (x + iy)) + i(A(x iy); (x iy)):

Но сходимость билинейных форм (Anx; y) ! (Ax; y) это и есть слабая сходимость операторов. Таким образом, формула Стоуна полностью доказана.

Следствие 6.5.3 Спектральная функция самосопряженного оператора единственна.

Замечание 6.5.4 В формуле Стоуна можно доказать и существование сильного предела, т.е.,

I"x ! E( + 0) + E( 0)x 2

для любого x. Нам этот результат не понадобится.

Упражнение 6.5.5 Пусть спектр (A) (не обязательно самосопряжен- ного) есть объединение 1 [ 2 двух непересекающихся множеств, которые можно отделить кусочно гладкой жордановой кривой C. Доказать, что

1. оператор

Z

P = 1 R( )d 2 i C

является проектором, т.е., удовлетворяет соотношению P 2 = P ,

2.этот проектор приводит A, т.е., P A = AP ,

3.спектр оператора A, рассматриваемого на подпространстве Im P совпадает с 1, а на подпространстве Im (1 P ) - c 2.

Указание. Контур C по теореме Коши можно заменить большим контуром, не пересекающим C.

Проектор, построенный в этом упражнении, называется проектором Коши. Отметим, что он вообще говоря, не является ортогональным.

Упражнение 6.5.6 Найти непосредственным вычислением проекторы Коши для оператора, заданного матрицей

Как зависят проекторы от контура C?

Упражнение 6.5.7 То же для матрицы

01