Банаховы и гильбертовы пространства

48 ГЛАВА 3. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

В зависимости от поля скаляров R или C пространство называется дей-

ствительным или комплексным. Большинство фактов справедливы для обоих пространств, в противном случае поле скаляров специально оговаривается.

Обычным образом вводится понятие линейной зависимости или независимости конечного множества элементов и понятие размерности, которая может быть как конечной, так и бесконечной.

Упражнение 3.1.2 Дать аккуратное определение этих понятий.

В функциональном анализе главным образом рассматриваются бесконечномерные пространства.

Определение 3.1.3 Линейное пространство E называется нормированным, если на нем задана функция kxk, называемая нормой элемента x, которая удовлетворяет следующим условиям:

1.kxk 0, причем kxk = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность),

2.k xk = j jkxk (однородность),

3.kx + yk kxk + kyk (неравенство треугольника).

Две нормы kxk1 è kxk2 на одном и том же линейном пространстве E называются эквивалентными, если существуют такие положительные константы B > A > 0, что

Akxk1 kxk2 Bkxk1:

Норма на E определяет метрику по формуле

(x; y) = kx yk;

так что нормированное пространство автоматически является метрическим. Обратное неверно, т.е., не всякая метрика на линейном пространства порождается нормой.

Упражнение 3.1.4 Проверить аксиомы метрического пространства для метрики, порожденной нормой.

Понятие сходимости последовательности, введенное для метрических пространств, переносится на нормированные пространства: xn ! x, åñëè kxn xk ! 0. Такая сходимость называется сходимостью по норме, или сильной сходимостью. Отметим, что эквивалентные нормы дают эквивалентные определения сходимости, т.е., любая последовательность xn, ñõî- дящаяся по норме k k1, будет сходиться и по эквивалентной норме k k2 è наоборот.

Упражнение 3.1.5 Доказать это утверждение .

Как и в любом метрическом пространстве, вводится понятие фундаментальной последовательности и понятие полноты нормированного пространства.

Определение 3.1.6 Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

В банаховом пространстве можно рассматривать ряды, поскольку опе-

довательность его частичных сумм фундаментальна:

nn

XX

k=m+1 k=m+1

при n; m ! 1, а ряд из норм сходится. Полнота пространства E гарантирует тогда сходимость последовательности частичных сумм.

Отметим также непрерывность нормы. Это следует из неравенства

jkxk kykj kx yk;

которое в свою очередь легко выводится из неравенства треугольника. Введем понятие подпространства банахова пространства.

Определение 3.1.7 Подпространством банахова пространства называется линейное замкнутое подмножество.

Таким образом, L является подпространством E, если, во-первых, L яв-

ляется линейным подмножеством, т.е., линейные операции над элементами L дают снова элементы L. В конечномерном случае больше ничего не тре-

бовалось. Специфика бесконечномерного случая в том, что линейное множество не обязательно является полным относительно нормы в E, и тем

самым, может не быть банаховым пространством. Чтобы этого не случи- лось, требуется, чтобы L было замкнутым, т.е., содержало свои предельные

точки.

Упражнение 3.1.8 Подпространство банахова пространства само является банаховым пространством.

В заключение введем еще одно важное понятие.

Определение 3.1.9 Банахово пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное плотное подмножество.