5.2.3Спектр

Пусть K - компактный оператор в гильбертовом пространстве H. Рассмотрим однородное уравнение

где - комплексный параметр, называемый спектральным параметром . Как и в линейной алгебре, значения , для которых уравнение (5.2.16) име-

ет нетривиальное решение, называются собственными значениями , а сами нетривиальные решения - собственными векторами (собственными функциями).

Теорема 5.2.5 (4-я теорема Фредгольма) Все собственные значения оператора K содержатся в круге j j kKk и могут иметь единственную

предельную точку 0.

Доказательство. Пусть j j > kKk. Перепишем уравнение в виде

Норма оператора K= меньше 1, тогда по лемме 5.2.3 решение x = 0 будет единственным. Этим доказано, что вне круга радиуса kKk собственных

значений нет.

Докажем вторую часть теоремы. Предположим противное: пусть имеется последовательность собственных значений n, сходящаяся к числу 6= 0. Не уменьшая общности, считаем, что все n 6= 0 è n 6= m при n 6= m, в противном случае можно перейти к подпоследовательности. Пусть xn - ïî- следовательность собственных векторов (по одному для каждого n). Êàê и в линейной алгебре, доказывается, что система векторов x1; x2; : : : ; xn ëè- нейно независима при любом n, поскольку собственные значения различны.

Действительно, рассуждая по индукции, предположим, что x1; x2; : : : ; xn 1 линейно независимы, а xn выражается через них линейно:

xn = c1x1 + c2x2 + : : : + cn 1xn 1:

Применяя оператор K, получим

n 1

X

Kxn = nxn = nckxk:

k=1

С другой стороны,

n 1 n 1

XX

Kxn = ckKxk = kckxk:

k=1 k=1

Вычитая, приходим к равенству

n 1

X

( n k)ckxk = 0;

k=1

что противоречит линейной независимости x1; x2; : : : ; xn 1.

Рассмотрим теперь последовательность e1; e2; : : :, которая получается ортогонализацией системы x1; x2 : : :. Имеем

n

X

en = ankxk:

k=1

Последовательность en ограничена, так как kenk = 1. Тогда в силу компактности оператора K из последовательности Ken можно выделить сходящую- ся подпоследовательность. Не уменьшая общности, считаем, что сама Ken сходится. Но

n 1

X

Ken Kem = nen + ank( k n)xk

k=1

m

X

amk kxk = nen + gn;

k=1

ãäå gn ортогонален en, поскольку является комбинацией векторов ek ñ k < n.

Значит,

kKen Kemk2 = j nj2 + kgnk2 j nj2 ! j j2 > 0;

что противоречит сходимости последовательности Ken.

Множество, состоящее из всех собственных значений и точки = 0 называется спектром компактного оператора K, а дополнение к спектру назы-

вается резольвентным множеством . Из теорем Фредгольма следует, что в точках резольвентного множества существует обратный оператор ( K) 1,

называемый резольвентой оператора K.

Отметим, что возможен случай, когда спектр состоит только из одной точки = 0, т.е., ненулевых собственных значений вообще нет. Такие

компактные операторы называются вольтерровыми. Это название происходит от интегральных уравнений Вольтерра, которые мы вкратце здесь рассмотрим. Это частный вид интегральных уравнений Фредгольма на отрезке [a; b], у которых ядро k(t; ) непрерывно и отлично от 0 только при

a t b (ниже диагонали). Таким образом, уравнение Вольтерра

имеет вид

Z t

a

Теорема 5.2.6 Уравнение (5.2.17) имеет единственное решение при любой правой части f(t) 2 L2[a; b]:

98 ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Доказательство. Как и в лемме 5.2.3, будем строить решение в виде

Докажем, что Kn - это также интегральные операторы Вольтерра, т.е., их

ÿäðà kn(t; ) обращаются в нуль выше диагонали, и получим оценку для этих ядер

Z t Z Z t Z t

K2f = k(t; )d k1( ; )f( )d = k(t; )k1( ; )d f( )d ;

a a a

откуда

Z t

k2(t; ) = k(t; )k1( ; )d

при t и нулю при t. Из этой формулы следует также оценка (5.2.18) для k2

Z t

jk2(t; )j M2d = M2(t ):

По индукции

Z t Z

Knf = K Kn 1f = k(t; )d kn 1( ; )f( )d ;

a a

откуда для ядра kn получаем

Z t

kn(t; ) = k(t; )kn 1( ; )d :

Отсюда следует, что kn(t; ) = 0 при t , а при t имеем оценку

т.е., оценку (5.2.18) для n-го ядра. Из этой оценки следует, что ряд

1

X

r(t; ) = kn(t; )

n=1

сходится абсолютно и равномерно, так как он мажорируется числовым ря-

äîì

jkn(t; )j Mn (b a)n 1 :

(n 1)!