5.2Теория Фредгольма

В теории Фредгольма исследуется разрешимость линейных уравнений вида

где x - искомый вектор в банаховом пространстве E, b 2 E - данный вектор, а K : E ! E - линейный оператор. Мы будем предполагать, что K аппрок-

симируется конечномерными. Такие уравнения называются уравнениями Фредгольма второго рода, при b = 0 уравнение называется однородным,

при b 6= 0 - неоднородным.

Наряду с (5.2.1) рассматривают союзное уравнение в сопряженном пространстве E

Здесь y - искомый, а d - данный элемент E , K - сопряженный оператор. Важнейший пример: интегральное уравнение в пространстве L2[a; b] (a

и b - конечны): K - интегральный оператор с непрерывным ядром k(t; ):

Z b

x(t) = k(t; )x( )d + b(t):

a

Здесь K интегральный оператор с непрерывным ядром k(t; ), x(t) - искомая, а b(t) данная функция из L2[a; b]. Союзное уравнение в этом случае - это также интегральное уравнение в L2

Z b

z(t) = k( ; t)z( )d + d(t);

a

где ядро k( ; t) является эрмитово сопряженным к k(t; ).

Лемма 5.2.1 Интегральный оператор с непрерывным ядром аппроксимируется конечномерными операторами.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса для данного " существует

многочлен

X

p"(t; ) = aijti j

i;j

(сумма конечна), такой что

jk(t; ) p"(t; )j < "

ïðè t; 2 [a; b].

Ясно, что интегральный оператор с ядром p"(t; ) конечномерен, так как

Z b Z b

XX

Покажем теперь, что норму оператора S" = K P" с ядром s"(t; ) = k(t; ) p"(t; ) можно сделать сколь угодно малой. Для этого воспользуемся оценкой нормы оператора в L2, см. упражнение 4.4.10

kS"k "(b a);

поскольку

называются вырожденными.

Таким образом, уравнение Фредгольма (5.2.1), в частности, интеграль-

где P - конечномерный (вырожденный) оператор, а S - малый оператор, т.е., оператор с нормой, меньшей 1. Соответственно, союзное уравнение прини-

5.2.1Конечномерный случай

Перепишем уравнения (5.2.1) и (5.2.2) в более кратком виде:

где A = 1 K, а 1 - это единичный оператор (оператор умножения векторов на число 1). Союзное уравнение запишется тогда как

ãäå A = 1 K .

Сформулируем теперь теоремы Фредгольма о разрешимости уравнений (5.2.6) и (5.2.7) и докажем их в конечномерном случае.

92 ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Теорема 5.2.2 (Альтернатива Фредгольма) 1. Уравнение (5.2.6) имеет единственное решение при любой правой чисти b тогда и

только тогда, когда однородное уравнение Ax = 0 имеет только

тривиальное решение. При этом союзное уравнение (5.2.7) также однозначно разрешимо при любой правой части.

2.Однородное уравнение Ax = 0 и союзное однородное уравнение A z = 0 имеют одинаковое число линейно независимых решений.

3.Неоднородное уравнение Ax = b имеет решение тогда и только то-

гда, когда свободный член удовлетворяет условиям ортогональности: для любого решения z союзного однородного уравнения A z = 0

Три пункта этой теоремы носят название первой, второй и третьей теорем Фредгольма.

Доказательство. Пункты 1 и 2 - это простые следствия из теории систем линейных уравнений. Так, пункт 1 означает, что det A 6= 0, а тогда и

det A = det A 6= 0. Пункт 2 следует из того, что размерность пространства

решений однородного уравнения Ax = 0 равна числу линейно независимых столбцов матрицы A, т.е., ее рангу. Но ранги матриц A и A совпадают, так

как число линейно независимых строк равно числу линейно независимых столбцов.

Докажем пункт 3. Пусть Im A - подпространство векторов вида Ax, где x 2 E, т.е., подпространство, на которое оператор A отображает все про- странство E. Пусть далее Ker A - подпространство в E , состоящее из решений однородного союзного уравнения A z = 0. Наконец, пусть (Ker A )? обозначает подпространство векторов b 2 E, удовлетворяющих условиям ортогональности hz; bi = 0 для любых z 2 Ker A . Теорема утверждает, что

(Ker A )? = Im A:

Покажем, что Im A (Ker A )?: Действительно, b 2 Im A означает, что существует x 2 E такой, что b = Ax. Тогда для любого z 2 Ker A имеем

hz; bi = hz; Axi = hA z; xi = h0; xi = 0:

Покажем теперь, что размерности подпространств Im A и (Ker A )? ðàâ-

ны. Отсюда будет следовать не только включение, но и равенство этих подпространств.

Размерность Im A равна рангу r матрицы A. Размерность Ker A, т.е., подпространства решений однородной системы A z = 0 равна n r, так как ранг A равен рангу A. Выбрав базис z1; z2; : : : ; zn r â Ker A получим систему

hzi; bi = 0; i = 1; 2; : : : ; n r

для векторов b 2 (KerA )?: Размерность подпространства решений этой системы равна n (n r) = r, что и доказывает совпадение размерностей, и следовательно равенство подпространств Im A и (Ker A )?.

Для бесконечномерных пространств понятие ранга или детерминанта оператора лишено смысла. Любопытно, однако, что формулировка теоремы остается осмысленной и в бесконечномерном пространстве, но в общем случае теорема неверна. Замечательно, что для уравнений Фредгольма, т.е., для уравнений вида (5.2.4) она все-таки верна. Мы докажем это сведением к конечномерному случаю.

5.2.2Теоремы Фредгольма

Рассмотрим сначала случай, когда в уравнении (5.2.4) конечномерный оператор отсутствует.

Лемма 5.2.3 Уравнение

x = Sx + b;

k=0

Доказательство. Существование и единственность решения следует сразу же из принципа сжимающих отображений, так как

kSx1 + b Sx2 bk kSkkx1 x2k;

т.е., отображение x 7!Sx + b является сжатием.

Докажем формулу (5.2.9). Перепишем уравнение в виде

(1 S)x = b;

где 1 единичный оператор, т.е., оператор умножения векторов на число 1. Оператор, обратный к (1 S), задается суммой геометрической прогрессии

1

X

(1 S) 1 = Sk;

k=0

при этом ряд сходится по норме, так как kSkk kSkk и kSk < 1. Действи-

X X X

(1 S) Sk = Sk Sk = 1:

k=0 k=0 k=1

Применяя оператор (1 S) 1 к обеим частям уравнения, приходим к

формуле (5.2.9).

Оператор (1 S) 1 называется резольвентным оператором или резольвентой и обозначается символом R.

Переходя к общему уравнению Фредгольма (5.2.1) или (5.2.4), запишем его в виде

(1 S)x = P x + b;

где P - конечномерный оператор, а S имеет норму, меньшую единицы (малый оператор). Положим (1 S)x = y. Тогда по лемме 5.2.9 x однозначно

выражается через y:

x = (1 S) 1y = Ry;

Так как P - конечномерный оператор, то P R - также конечномерный, следовательно, он допускает представление (5.1.1), так что уравнение (5.2.10)

запишется в виде

n

X

Вводя неизвестные k = hfk; yi и подставляя сюда вместо y его выражение из (5.2.11), сведем это уравнение к системе

nn

ãäå bk = hfk; bi:

Таким образом, исходное уравнение (5.2.4) и конечномерная система (5.2.12) эквивалентны. Действительно, если x - решение уравнения (5.2.4),

то числа k = hfk; (1 S)xi удовлетворяют системе (5.2.12). Обратно, если

x = (1 S) 1y, которое будет удовлетворять уравнению (5.2.4).

Аналогично, союзное уравнение (5.2.2) или (5.2.5) тоже сводится к системе, которая будет союзной к системе (5.2.12). Мы проделаем это только для однородного союзного уравнения, так как неоднородное нам не понадобится. Итак, перепишем (5.2.5) в виде

(1 S )z = P z

и применим к обеим частям оператор (1 S ) 1 = R . Тогда для z имеем уравнение

с оператором R P = (P R) : Таким образом, уравнение (5.2.13) является

союзным однородным уравнением к уравнению (5.2.10). Учитывая выражение (5.1.2) для сопряженного оператора, уравнение принимает вид

n

X

z = hz; ekifk:

k=1

и следовательно,

nn

XX

Ясно, что полученная система (5.2.15) эквивалентна уравнению (5.2.13) (переход задается формулой (5.2.14)). Матрица этой системы эрмитово сопряжена матрице системы (5.2.12), так что обе системы союзны по отношению друг к другу.

Сравним, наконец, условия ортогональности для исходных уравнений и для соответствующих систем. Пусть z - решение однородного уравнения

(5.2.5), т.е., уравнения (5.2.13), а b - свободный член уравнения (5.2.4). Тогда в силу (5.2.14)

nn

XX

hz; bi = khfk; bi = kbk:

k=1 k=1

Таким образом, равенство нулю левой части влечет за собой равенство нулю правой части и наоборот, т.е., условия ортогональности для исходных уравнений эквивалентны условиям ортогональности (5.2.8) для систем.

Тем самым все три теоремы Фредгольма, доказанные для конечномерных линейных систем, и в частности, для систем (5.2.12) и (5.2.15), будут справедливы и для исходных уравнений (5.2.1) и (5.2.2). Мы еще раз приведем формулировку теорем Фредгольма (в бесконечномерном случае) используя несколько иные термины. То, что x является решением одно-

родного уравнения x = Kx можно выразить иначе, сказав, что 1 является

собственным значением оператора K, а x собственным вектором (собственной функцией).

Теорема 5.2.4 Пусть K - оператор, который аппроксимируется конечномерными. Тогда справедливы следующие утверждения.

1.Неоднородное уравнение (5.2.1) имеет единственное решениe при любой правой части тогда и только тогда, когда 1 не является собственным значением оператора K.

2.Собственные подпространства с собственным значением 1 у опера- торов K и K имеют одинаковую конечную размерность.

3.Для разрешимости неоднородного уравнения (5.2.1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член b был ортогонален любому собственному вектору оператора K с собственным значением 1.