VII. Функции многих переменных

Найти уравнение касательной и нормали к поверхности в

указанной точке

M

(x0 , y0 , z0 )

(варианты 1 – 30):

x2 −1 + y2 − z2 = 0

M

(

)

1.

в точке

1,1,1

2.

4x − x y − 6 = 0

в точке

M

(

)

1,−2,1

3.

x +10 − y2 + xz = 0

в точке

M(1, 3, − 2)

4.

x3 −1 − xy + z2 = 0

в точке

M(1, 4, − 2)

5.

xz +1 + yz − x2 = 0

в точке

M(1, −1, 2)

)

xy − 25 + z2 − 4x + y2 = 0

M

(

6.

в точке

2, − 6, 3

7.

z − 2xy + 7 + y2 = 0

в точке

M(3,1, − 2)

z3 + y2 x +15 − 2 y =

0

M

(

)

8.

в точке

− 3, 2,1

x y −18 + 6z2 − y2 z = 0

M

(

)

9.

в точке

1, 3, −1

21 − z2 + 6xy −8x =

M

(

)

10.

0

в точке

1, − 2,1

)

x2 −1 + xy − 2zy + 3z = 0

M

(

1,1, −

11.

в точке

1

x3 −13 + 3xy + 6z2 = 0

M

(

)

12.

в точке

1, 2,1

)

x2 − y3 + z4 + xy − 2 = 0

M

(

1,1, −

13.

в точке

1

14.

z3 + zy − 2xz −5 = 0

в точке M

(

)

−1, 2,1

y3 + xz −1 + x = 0 в точке M

(

1, −

)

15.

1,1

16.

z = x 2 + 2 y2

в точке M(1, 2, 9)

z = x2 − y2

M

(

)

17.

в точке

1, 2, − 3

47

18.

z = xy в точке

M

(

)

1,1,1

(

)

z = −x 2 y − y 2

M

19.

в точке

1, 2,

− 6

20.

z = xy2 − x2

в точке

M

(

)

(

1, − 2, 3

z = yx2 + x3

M

)

21.

в точке

2,1, 6

22.

z = xy + x2

в точке M(3,1,12)

)

z = y2 − xy2

M

(

2,1, −

23.

в точке

1

z = x + x3 y

в точке M

(

)

24.

2,1,10

25.

z = x2 − x3 y

в точке

M(1, −1, 2)

z = xy2 − y3

M

(

2,1, −

)

26.

в точке

1

27.

z = x3 y − x2

в точке

M(−1,1, − 2)

28.

z = −x3 y − y

в точке

M(2, −1, 9)

Вычислить приближенно

с помощью полного дифференциала

(варианты 1 – 30):

1.

1,02 2,03

13.

1,04 2,02

3.

(lg100,1)3,01

2.

49,01 25,03

5.

3,012 + 4,022

4.

5,02 3

27,03

7.

100,99 +170,98

6.

1,012

+ 2,012 + 2,022

9.

3,98 (1 + 4,02 )

8.

1,99 sin1,49π

10.

lg(7,972 +5,982 )

11.

18,92 +8,99

2

(

)

12. arctg 1,02 lg10,3

48

14.

3,99 1,98

15.

15,99 3,99

16.

(

lg1000,1

2,01

)

17.

4,97 3 125,1

18.

13,042 − 4,992

19.

3 32,02 + 2,015

20.

ln(3 1,03 + 4 0,98 −1)

21.

3,02 tg 1,01π 3

22.

5 ( 2,01 + 8,98 )

(

)

23.

log13 (2,022 + 3,022 )

24.

17,03 + 2,013

25.

1,01 2,03 3,9 8

26.

o

cos 45

o

tg(3,01 4,022 )

sin 31

27.

28.

arctg(3 14,98 + 1,02 )

29.

4 2,013 +5,992

30.

tg 44o ctg 29o

Задание 3

Исследовать на экстремум следующие функции (варианты 1 - 30):

1.

z = x

2 +

(

y −1 2

)

2.

z = x

2 −

(

y −1 2

)

3.

z = x2 − x y + y2 − 2x + y

4.

z = x3 + y3 − 3xy

5.

z = x4 + y4 − x2 − 2x y − y2

1.

z = x y , если x + y =1

2.

z = x 3 + y 4 , если x2 + y2 =1

3.

z = cos2 x + sin2 y , если

x − y = π 4

4.

z = x + y , если 1 x +1 y = 3

5.

z = x + y3

, если

x + 4 y =8

6.

z = x + 2 y , если

x2 + y2 =5

7.

z = x2 + y2 , если

x 2 + y

3 =1

8.

z = x y2 , если x + y =12

9.

z = 2x3 + 3x + 2 y3 + 3y , если

x2 + y2 =1

10.

z =

1

+

1

, если

1

+

1

=

1

x

y

x2

y2

4

11.

z = x y , если x2 + y2 =8

12.

z = x4 + y 4 , если x + y = 2

13.

z =

3

+

4

, если

1

+

1

=

1

x

y

x2

y2

4

14.

z = 2x2 + 4 y2 , если

x + y =1

15.

z = x 3+ y2 , если

x + y =8

16.

z =

1

+

3

, если

1

+

9

=

1

x

y

x2

y2

64

17.

z =

5

+

4

3 , если

1

+

2

=

1

x

x2

y2

36

y

18.

z = x y2 , если x + 2 y =1

51

19.

z = x 2 + y2 − xy − x − y − 4 , если x + y − 3 = 0

20.

z = 2x2 + 3y2

, если

x + y =1

21.

z = (x+ y − 4)

2 , если

x2 + y2 =1

22.

z = 2x+ y , если

x2 + y2 =1

23.

z = x 2 y , если

x + 2 y =12

24.

z =

3

+

1

, если

1

+

3

=

1

x

y

x2

y2

16

25.

z =x+ 4 y , если

1 x +1 y = 4

26.

z =x2 + y2

, если

x + y = 8

27.

z =x+ 2 y , если

x2 + y2 =5

28.

z = 4x+ 9 y

, если

1 x +1 y = 3

29.

z = x 3+ y3

, если

x + y =8

30.

z =x2 + y2

, если

x2

16 + y2

9 =1 .

Задание 5

Определить наибольшее и наименьшее значения функций в

указанных областях (варианты 1 – 30):

1.

z = x − 2 y − 3 , если 0 ≤ x ≤1,

0 ≤ x + y ≤1

2.

z = x 2 + y2 −12x +16y , если

x2 + y2 ≤ 25

3.

z = x 2 − y2 +10 , если x2 + y2 ≤ 4

4.

z = x2 + 2 y2 , если x2 + y2 ≤100

5.

z = x + y , если

x2 + y2 ≤1

6.

z = x2 y , если

x2 + y2 ≤1

7.

z = x2 − y2 , если

x2 + y2 ≤1

8.

z = sin x + sin y + sin(x + y), если 0 ≤ x, y ≤ π 2

52

9.

z = x3 + y3 − 3xy , если

0 ≤ x ≤ 2 , −1 ≤ y ≤ 2

10.

z = e−x2 y2 (2x2 + 3y2 ), если x2 + y2 ≤ 4

11.

z =

x2 + y 2

, если

x

≤1,

y

≤1

x 2 + y2 +1

12.

z = x y , если x2 + y2 ≤1

13.

z = x − 2 y + 3 , если

x + y ≤1 ,

x ≥ 0 , y ≥ 0

14.

z = x2 + y2 − xy − x − y , если

x + y ≤ 3 ,

x ≥ 0 ,

y ≥ 0

15.

z = x − 2 y +5, если

y − x ≤1,

x ≥ 0 , y ≥ 0

16.

z = x y2 , если

x2 + y2 ≤1

17.

z = 2x 2 + y2 +8x − 8y , если x2 + y2 ≤ 4

18.

z = x 2 y , если

x2 + y2 ≤ 2

19.

z = 2x 2 − y 2 , если

x + y ≤1

20.

z = x 2 + 3y2 − x +18y − 4 , если 0 ≤ x ≤1,

0 ≤ y ≤1

21.

z = 2x + 3y , если x2 + y2 ≤ 3

22.

z = x 2 + 3y2 + 2x , если

x2 + y2 ≤1

23.

z = 4x2 + y2 +16 , если

x = 0 ,

y = 0

24.

z = x 2 + y2 − 2x + y , если

x = 0 , y = 0 ,

x =1 ,

y = 2

25.

z = x2 y2 , если

x2 + y2 ≤5

26.

(

)

, если

0 ≤ x, y ≤ π 2

z = sin x + sin x + y

27.

z = 4x2 + xy + 2 y2 , если x = 0 , y = 0 , x + y = 6

28.

z = 2 x2 − 2 y2 + 4x +16y , если

x2 + y2 ≤ 3

29.

z =5x y2 , если

x2 + y2 ≤ 2

30.

z = x 2 +y2 + 2 y , если

x = 0 ,

y = 0 , x =1 , y = 2 .