Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

коэффициент корреляции rs по выборке пар рангов(xiI , yiI ) :

Полученное значение rs называется выборочным коэффициентом ранговой корреляции Спирмена ρs .

ρs является непараметрической мерой связи и,

следовательно, может использоваться при произвольном непрерывном распределении генеральной совокупности. Применение коэффициента корреляции Пирсона r, в частности проверка его значимости, предполагает двумерное нормальное распределение генеральной совокупности.

Значимость коэффициента ρs при n ³ 9 проверяется по значению статистики:

Стьюдента с ( n − 2 ) степенями свободы, то гипотеза H0

отклоняется на уровне значимости α, т.е. между X и Y существует ранговая корреляционная зависимость.

97

Проверить значимость ранговой корреляции при α = 0,10.

Решение. Определим ранги элементов исходной выборки. Предварительно перепишем исходную выборку, упорядочив ее элементы по верхней строке (т.е. по значению хi ), в результате получим:

yi 113,3 115,4 153,6 167 125,6 150,8 166,2 181,2 159,9 173,

Определим ранги для значения yi. Вариационный ряд для yi имеет вид:

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 113,3 115,4 125,6 150,8 153,6 159,9 166,2 167 173,1 181,

Таким образом, упорядоченной по элементам xi выборке соответствует следующая последовательность

Оценка рангового коэффициента корреляции по формуле (4.1) равна:

rs ≈ 0,745 .

Чтобы проверить значимость полученного результата, вычислим выборочное значение статистики Стьюдента tв:

98

Так как выборочное значение tв больше квантили распределения Стъюдента t0,95 (8) = 1,860 , то ранговая

корреляция значима.

Коэффициент ранговой корреляции τ Кендалла

вычисляется по формуле

где k - число инверсий в ряду рангов второй переменной ( yiI ) (при условии, что ранги первой переменной ( xiI )упорядочены).

В примере 4.4 последовательности рангов следующие:

xiI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yiI 1 2 5 8 3 4 7 10 6 9

Найдем число инверсий (нарушений порядка) в последовательности yiI , i = 1, 2, …, 10.

Числа 1 и 2 инверсий не образуют; число 5 образует две инверсии, так как стоит перед числами 3 и 4; 8 образует четыре инверсии с числами 3, 4, 7 и 6; 7 образует одну инверсию; 10 - две. Таким образом число инверсий k = 9.

Для проверки значимости τ используется статистика

При больших значениях n эта статистика имеет (приближенно) стандартное нормальное распределение

N(0,1).

Для примера 4.4 выборочное значение равно

99

корреляции τ значимо отличается от нуля.

Оба коэффициента ранговой корреляции по модулю не превосходят единицу: rs £ 1 , t £ 1.

Значения ±1 эти коэффициенты принимают в случае, когда последовательности рангов xiI , yiI , i = 1, 2,

…, n, совпадают либо расположены во взаимнообратном порядке.

Если два или более элементов вариационного ряда совпадают, то этим элементам присваивается один и тот же ранг, равный среднему арифметическому их номеров. Например, вариационному ряду 0, 1, 2, 2, 2, 4, 8 будет соответствовать следующая последовательность рангов:

1, 2, 4, 4, 4, 6, 7, так как третьему, четвертому и пятому элементам вариационного ряда (они совпадают и равны

2) присваивается ранг 3 + 4 + 5 = 4.

3

В случае совпадающих рангов для расчета rs ранговых коэффициентов корреляции и τ используют скорректированные формулы. Выборочное значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена rs вычисляется по следующей формуле:

100

t = 1, 2, …, mx ; my - число групп совпадающих рангов в

последовательности yiI ; nl - число совпадающих рангов в группе с номером l, l = 1, 2…. my .

Скорректированная формула для вычисления коэффициента ранговой корреляции Кендалла имеет вид:

где τ - коэффициент ранговой корреляции Кендалла,

вычисленный без поправки; U = 1 mx n n -1 ;

x 2 åt=1 t ( t )

Пример 4.5. Объемы продаж в двух магазинах бытовой техники в течение 10 дней составили (тыс. руб.):

101

Определить коэффициенты ранговой корреляции.

Решение. Определим ранги исходной выборки. Предварительно упорядочим элементы выборки по элементам строки х:

Cтрока y также оказалась записана в порядке возрастания. Поэтому можно сразу записать последовательность пар рангов, присвоив повторяющимся элементам равные ранги по правилу среднего арифметического:

å(xI - yI )2 = 0,25 + 4 + 4 + 2,25 + 2,25 + 0,25 = 13, n = 10;

Tx = 121 éêë(23 - 2)+ (23 - 2)+ (23 - 2)+ (23 - 2)ùúû = 1224 = 2;

последовательности пар во второй строке ( yI ) инверсий

102