∙сила Лоренца; движение заряженной частицы в однородном магнитном поле;
∙термоэлектронная эмиссия; вакуумный диод.
2.Приведите в рабочей тетради подробный вывод формулы (3) (см. Приложение к работе), электрическую схему установки.
Расчетное задание.
Рассчитайте ток Iм , который должен обеспечивать
источник питания соленоида в данной работе, чтобы можно было определить удельный заряд электрона, выполняя измерения при Uа = 20 В и Uа = 80 В (в расчетах примите
радиус анода rа = 13 мм).
Литература
1. Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука, 1985. - §§ 178; 179; 181; 182; 184.
Приложение к лабораторной работе № 9
Воспользуемся цилиндрической системой координат, т.е.
будем характеризовать положение точки расстоянием от оси цилиндра r, полярным углом ϕ и смещением вдоль оси z (см. рис.2). Если высота цилиндра велика по сравнению с его радиусом, то достаточно рассмотреть движение электрона в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра z.
По теореме об изменении кинетической энергии
mv2 − mv02 = A ,
2 2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
где v0 - скорость электрона при r = rк ( rк - радиус катода); v
- скорость в точке (r, ϕ); A - работа действующих на электрон сил. Магнитная сила работы не совершает, а
работа электрической силы
|
|
Aэл = −e(U0 −U ) . |
|
|
|
|
|
|
||||
Считая потенциал катода U0 |
равным нулю, получаем: |
|
||||||||||
|
|
mv2 |
− |
mv02 |
= eU , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где U - потенциал электрического поля в точке (r, ϕ). |
|
|||||||||||
С учетом того, что v |
2 |
2 |
2 |
|
|
dr |
= r, |
vϕ = r |
dϕ |
= rϕ - |
||
|
= vr + vϕ , где vr = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
& |
|
dt |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проекции вектора скорости на радиальное направление (задаваемое вектором r ) и направление, перпендикулярное ему, получаем:
eU + |
mv02 |
= |
m |
(r |
2 |
+ r |
2 |
ϕ |
2 |
) . |
2 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
Если mv02 / 2 << eU , то это уравнение принимает вид:
eU = |
m |
(r |
2 |
+ r |
2 |
ϕ |
2 |
) . |
(П1) |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
Движение электрона в плоскости (r, ϕ) удобно описать с
помощью уравнения моментов
dtd (Iϕ& )= M z ,
где I = mr2 - момент инерции электрона относительно оси z;
M z = rFϕ = revr B = err&B -
проекция момента силы Лоренца на ось z. Поэтому
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dtd (mr2j& )= eBr drdt .
Интегрируя это уравнение, получаем:
r2j& = eBr2 + C .
2m
Постоянная интегрирования С определяется из начальных
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условий ( ϕ = 0 при r = rк ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
eBr2 |
|
|
2 |
|
|
|
eB |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С = - |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
(r - rк ). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2m |
и r j = |
2m |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Считая, что r |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
& |
|
eB |
|
. |
|
|
||
|
>> rк |
, получаем j = |
2m |
|
|
||||||||||||
Уравнение (П1) принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
eU = |
m é&2 |
+ |
æ reB ö2 |
ù |
(П2) |
|||||||||
|
|
|
2 |
êr |
ç |
|
÷ |
|
|
ú . |
|||||||
|
|
|
|
|
ê |
|
|
è |
2m ø |
|
|
ú |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
Рассмотрим участок траектории электрона вблизи анода при U = Uа . В отсутствие магнитного поля траектория
электрона прямолинейна и направлена вдоль радиуса. При слабом поле траектория несколько искривляется, но все же электрон попадает на анод. При некотором критическом значении Bкр траектория искривляется настолько, что
электрон только "касается" анода и возвращается к катоду (см. рис.2). Величину Bкр можно найти из уравнения (П2),
считая, что скорость r при r = rа |
( rа - радиус анода) равна |
||
& |
|
|
|
нулю: |
eB2 r2 |
||
|
|||
Uа = |
кр |
а |
, |
8m |
|
||
|
|
|
|
откуда следует
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Bкр = |
2 |
|
2Uа m |
|
. |
rа |
|
e |
|||
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com