Cледовательно, pk = λpkk −1 , или:

p1 ≈ λp0 ≈ λe−λ ; p2 ≈ λp1 ≈ λ2e−λ / 2 ; p3 ≈ λp2 ≈ λ3e−λ /(2 3)= λ3e−λ / 3!,... .

Далеепоиндукции pk ≈ e−λ λ2 . Этоиестьраспределение Пуассона. k!

Пример 11. На курсе 100 студентов. Каждый может выиграть билет на концерт популярной музыкальной группы с вероятностью 1/20. Какова вероятность, что шесть человек с курса попадут на концерт?

Cвяжем испытания Бернулли с каждым из студентов: n = 100,

р = 1/20, λ = 5.

P(X = 6) = e−5 56 ≈ 0,146. ♦ 6!

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Производящая

Пример 12. Математическое ожидание и дисперсия числа студентов, выигравших билет на концерт, cовпадают с параметром распределения Пуассона: МХ = DX = 5. ♦

Пример 13. В начале ХХ столетия инженер Эрланг заметил, что число звонков, поступающих на телефонную станцию за единицу времени, имеет распределение Пуассона. Параметр этого распределения равен среднему числу звонков, поступающих на телефонную станцию за эту единицу времени. ♦

§ 8. Геометрическое распределение

Пусть теперь испытания Бернулли проводятся до наступления первой неудачи. Cлучайная величина Х - число проведенных испытаний. Распределение Х можно задать с помощью таблицы:

Такое распределение называется геометрическим.

Пример 14. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и равна 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее четырех ударов?

Пусть X - число ударов, сделанных игроком. Найдем вероятность дополнительного события: Р(Х < 4) = 0,3 + 0,7 0,3 + (0,7)2 0,3 = 0,657. Тогда Р(Х ≥ 4) = 1 – 0,657 = 0,343. ♦

Производящая функция случайной величины с геометрическим

Пример 15. Cреднее число ударов бильярдиста MX = 1/q = 1/0,3 = =10/3 = 3,(3). Дисперсия числа ударовDX = р/q2 = 0,7/(0,3)2 = 70/9 = 7,(7). ♦

Лекция 6

§ 9. Непрерывные случайные величины

Пусть Х - случайная величина с функцией распределения F(x). Если функция распределения дифференцируема, то ее производная F′(x) = f(x) называется плотностью распределения, а сама случайная величина Х - непрерывно распределенной случайной величиной.

Отсюда следует, что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения:

x

F(x) = ∫ f (t)dt .

−∞

Утверждение 8. Cлучайная величина Х принимает значения из отрезка [x1, x2] c вероятностью F(x2) – F(x1).

Доказательство. P{x1 ≤ X ≤ x2} = F(x2) – Р(Х < x1) = F(x2) – F(х1). (Так как F(х) непрерывна, для любого ε > 0 существует δ > 0 такая, что

0 ≤ F(x) − F(x −δ) < ε , т.е. 0 ≤ P(X ≤ x) − P(X ≤ x −δ) < ε . Поскольку для любого δ > 0 P(X ≤ x −δ) ≤ P(X < x) , то для любого ε > 0 0 ≤ P(X ≤ x) − P(X < x) < ε , значит, P(X ≤ x) = P(x < x) .) ♣

Cледствие. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а, b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Утверждение 9. При непрерывном распределении вероятности каждой отдельной точке соответствует нулевая вероятность, а отрезку [а, b] cоответствует та же вероятность, что и интервалу (a, b).

Доказательство. P(X = x) = P(x ≤ X ≤ x) = F(x) – F(x) = 0.

P(a ≤ X ≤ b) = P{a ≤ X ≤ b} – Р{Х = а} – Р{Х = b} = P{a < X < b}.♣

Свойства плотности распределения вытекают из свойств функции распределения (§ 2, утверждения 1, 3):

1)поскольку функция распределения не убывает, ее производная неотрицательна: f(x) ≥ 0;

2)интеграл от плотности по всей числовой прямой равен единице:

Замечание. Будем также рассматривать непрерывные случайные величины, сосредоточенные на интервале (a, b). Это такие случайные величины, у которых функция распределения F(x) непрерывна, равна нулю при х ≤ а, равна единице при x ≥ b, а на интервале (a, b) дифференцируема. Плотность распределения таких случайных величин полагают равной нулю вне интервала (a, b) и F′(x) на (a, b).

+∞

DX = MX 2 −(MX )2 = ∫x2λe−λxdx −1/ λ2 =1/ λ2.

0

Показательное распределение часто имеют периоды ожидания или продолжительности жизни элементов (например, время до прихода автобуса или время жизни электрической лампочки). Показательное распределение обладает свойством отсутствия последействия: каков бы ни был настоящий возраст элемента, оставшееся время жизни не зависит от прошлого и имеет то же распределение, что и само время жизни. Отсутствие последействия присуще только показательному распределению. ♦

Параметр m также совпадает с

математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины, так как

В силу симметричности плотности нормального распределения относительно математического ожидания любой центральный момент нечетного порядка равен нулю, следовательно, коэффициент

асимметрии нормального распределения аХ = µ3 / σ3X = 0.