Ecли рассмотреть сочетания без повторения из n + m – 1-го элемента по m, то их столько же: на j позиций выбираются элементы из n, а на (m – j) позиций - из (m – 1):

m

Cm+ − = ∑C jCm− j . n m 1 n m−1

j =1

Поэтому Čmn = Cnm+m−1 . ♣

Пример 3. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты колоды сдаются по 10 трем игрокам, а 2 карты кладутся в "прикуп". Какова вероятность, что в прикупе окажутся два туза?

Число различных комбинаций из двух карт, которые могут оказаться в прикупе, равно числу сочетаний C322 = 32!/(2! 30!) = 496.

Эти сочетания и образуют пространство элементарных событий Ω. В карточной колоде 4 туза. Число элементарных событий, дающих два

туза, равно числу сочетаний C42 =4!/(2! 2!)=6. Вероятность двух тузов в прикупе Р(А) = 6/496 = 0,012…♦

Лекция 2

§ 5. Геометрические вероятности

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А - это доля исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве

"геометрических" вероятностей. Пример 4. Поезда в метро отправляются со станции с интервалом

в 4 мин. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 мин?

Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (рис.1), так как пассажир может

§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей

В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит, невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена А.Н.Колмогоровым, который в 1929 г. сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку вХХстолетии. Вчемэтааксиоматика состоит?

Пусть пространство элементарных событий Ω есть произвольное множество, ипустьА- некоторая системаегоподмножеств.

Аназываетсяалгеброй, если:

принадлежащих А, их пересечение B ∩C А (так как B ∩C = B UC ).

Таким образом, алгебра А - это класс множеств, замкнутый относительно операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра А может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также относительно их счетного числа. В этом случае она называется σ- алгеброй.

Если задано множество Ω и какая-нибудь алгебра его подмножеств А, то говорят, что задано измеримое пространство

(Ω, А).

Пример 7. В примере 4 пространство Ω состоит из точек отрезка [А, В]. Совокупность множеств { Ω, , [C, В], [А, C)} образует алгебру А.♦

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (Ω, А). Ω означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра А выделяет класс событий. Все остальные подмножества Ω, которые не вошли в алгебру А, cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (Ω, А) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом пространстве (Ω, А) называется числовая функция Р, определенная на множествах из А и удовлетворяющая трем аксиомам:

1)для любого множества B А: P(B) ≥ 0 ;

2)P(Ω) =1 ;

3)для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре А, и

таких, что B ∩C = : P(B C) = P(B) + P(C) .

Замечание. Если А является σ-алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но для любого