Утверждение 4. Пусть Х - случайная величина, MX - ее математическое ожидание, а MX 2 - математическое ожидание случайной величины X 2. Тогда

DX = MX 2 −(MX )2 .

Доказательство.

M (X − MX )2 = M (X 2 − 2XMX + (MX )2 )= = MX 2 − 2(MX )2 + (MX )2 = MX 2 − (MX )2.♣

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

σX = DX .

Пример 5. Дисперсия выигрыша в рулетку DX = MX 2 – (MX)2.

MX2 = 1002 1/3 + 2002 4/15 + 3002 1/5 + 4002 2/15 + 5002 1/15 = 70000; DX = 15555,(5).

σX = DX ≈126 . ♦

§4. Моменты

Моментом порядка k (k = 1,2,3...) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины X k.

Пример 6. Моментом первого порядка является математическое ожидание случайной величины. ♦

Центральныммоментомпорядкаk (k = 1, 2, 3...) называется величина

µk = M (X − MX )k .

Пример 7. Центральным моментом второго порядка является дисперсия. ♦

Утверждение 5. Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю.

Доказательство. Центральный момент нечетного порядка представляет собой числовой ряд. Поскольку распределение симметрично относительно математического ожидания, то каждому положительному члену ряда соответствует отрицательный, равный ему по модулю. В силу абсолютной сходимости сумма ряда равна нулю. ♣

Для характеристики асимметрии распределения выбрали третий центральный момент. Коэффициентом асимметрии называется величина аX = µ3 / σ3X .

Пример 8. Определим коэффициент асимметрии случайной величины из Х примера 1.

µ3 ≈1139966 ; σ3X ≈ 2000376 ; аX ≈ 0,57 . ♦

Лекция 5

§ 5. Производящая функция

Производящая функция вводится для дискретных случайных величин, которые принимают в качестве своих значений только целые неотрицательные числа.

Пусть случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2,.. c вероятностями p0, р1, р2, … Функция П(z) переменной z, z ≤1 , равная

∞

∑pk zk , называется производящей функцией случайной величины Х.

k =0

Производящая функция П(z) совпадает с математическим

ожиданием случайной величины z X .

Утверждение 6. Из производящей функции П(z) однозначно определяются вероятности p0, р1, р2,… значений целочисленной случайной величины Х.

Доказательство. Степенной ряд производящей функции сходится в круге радиуса 1. Внутри этого круга ряд можно дифференцировать сколько угодно раз.

П(0) = p0;

∞

Π′(z) = ∑pk kzk −1 ; Π′(0) = p1;

k =0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∞

Π(m) (z) = ∑pk k(k −1)(k − m −1)zk −m;

k=0

Π(m) (0) = pmm! , m =1, 2, 3,...

§ 6. Биномиальное распределение

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин. Одно из них - биномиальное.

Пусть проводится серия из n одинаковых и независимых между собой испытаний. В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностьюp. Такиеиспытания называютсяиспытаниямиБернулли.

Cобытие А будем называть "успехом", а событие A - "неудачей".

P(A) = q =1− p .

Рассмотрим случайную величину Х - число успехов в n испытаниях. Она может принимать значения 0, 1, 2,…, n. Вероятность, что Х примет значение k, т.е. в n испытаниях k раз наступит успех

P{X = k}= Cnk pk (1− p)n−k . Действительно, вероятность наступления

k успехов в k фиксированных испытаниях и (n – k) неудач в остальных (n – k) испытаниях равна pk (1− p)n−k . Распределить k успехов среди

n испытаний можно Cnk способами.

Распределение случайной величины Х называется распределением Бернулли или биномиальным распределением.

Пример 9. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

При каждом подбрасывании "успех" - выпадение герба, n = 10, k = 4, р = 1/2. P(X = 4) = C104 (1/ 2)4 (1/ 2)6 = 210 / 210 ≈ 0,206 . ♦

Биномиально распределенная случайная величина X - это целочисленная величина. Введем для нее производящую функцию:

Пример 10. Cреднее количество выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты равно MX = np = 10 (1/2) = 5, дисперсия равна

DX = nрq = 5 (1/2) = 5/2. ♦

§ 7. Распределение Пуассона

Иногда на практике встречаются испытания Бернулли, в которых число испытаний n относительно велико, вероятность успеха p относительно мала, а их произведение λ = np не мало и не велико. В таких случаях вместо биномиального распределения пользуются его приближением - распределением Пуассона.

P(X = 0) = (1− p)n = (1− λ/ n)n .

ln(1 − p)n = n ln(1 −λ/ n)= −λ −λ2 /(2n)−... .

При больших n: ln(1− p)n ≈ −λ , (1− p)n ≈ e−λ . Обозначим через pk вероятность Р(Х = k).