Лекция 7
Глава 3. Cиcтемы случайных величин
§ 1. Распределение системы случайных величин
Пусть Х = (Х1, Х2,…,Хn) - cовокупность (или система) случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин
называется вероятность совместного выполнения неравенств
F(x1, x2,K, xn ) = P{X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,K, Xn ≤ xn},
− ∞ < xk < ∞, k = 1, 2, ..., n.
Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:
1) F(х, у) - неубывающая функция своих аргументов;
2) |
lim |
F(x, y) = lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0 ; |
|
|
y→−∞ |
x→−∞ |
x→−∞ |
|
|
|
y→−∞ |
3) |
lim |
F(x, y) = F1(x); |
lim F(x, y) = F2 ( y) , где F1(x), F2(y) - |
|
y→∞ |
x→∞ |
|
функции распределения компонент X и Y;
4) lim F(x, y) =1.
x→∞ y→∞
Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение единицы, если сумма выпавших очков четна, и равна нулю, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значение единицы или нуля, если произведение выпавших очков соответственно четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы:
X |
0 |
1 |
Распределение Y |
|
Y |
||||
|
|
|
||
0 |
0 |
1/4 |
1/4 |
|
1 |
1/2 |
1/4 |
3/4 |
|
Распределение X |
1/2 |
1/2 |
|
Функция распределения вектора (X,Y):
0,
F(x, y) =
1/ 4,1/ 2,
1,
|
x < 0, |
− ∞ < y < 0; |
если |
|
<1, 0 ≤ y <1; |
0 ≤ x |
||
|
|
|
|
−∞ < x < 0, y < 0; |
|
если |
x ≥1, 0 ≤ y <1; |
|
если 0 ≤ x <1, y ≥1; |
||
если |
x ≥1, |
y ≥1. |
Функции распределения компонент:
0, |
x < 0; |
|
0, |
y < 0; |
|
|
F2 |
|
|
F1(x) = 1/ 2, 0 ≤ x <1; |
( y) = 1/ 4, 0 ≤ y <1; ♦ |
|||
|
x ≥1; |
|
|
y ≥1. |
1, |
|
1, |
||
Если функция распределения F(х, y) системы случайных величин (X,Y) дифференцируема, то ее вторую смешанную частную
производную называют плотностью распределения |
f (x, y) = |
∂2F(x, y) |
, |
||
∂x∂y |
|||||
|
|
|
|
||
−∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ ; вектор (X, Y) в этом |
случае |
называют |
|||
|
x |
y |
|
|
|
непрерывным случайным вектором. Отсюда F(x, y) = ∫ |
∫ f (x, y)dxdy . |
|
|||
−∞−∞
Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора следуют из свойств функции распределения:
1)f (x, y) ≥ 0 ;
∞ ∞
2) |
∫ |
∫ |
f (x, y)dxdy = lim F(x, y) =1. |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
||
|
−∞ −∞ |
|
y→∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
∞ |
|
∞ |
3) так как F1(x) = ∫ |
∫ f (x, y)dxdy , то |
′ |
∫ f (x, y)dy . |
|||
f1(x) = F1(x) = |
||||||
|
|
|
−∞−∞ |
|
−∞ |
|
Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:
P{(X ,Y ) D}= ∫∫ f (x, y)dxdy .
D
Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью
f (x, y) = |
1 |
, |
−∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ |
π2 (1+ x2 )(1+ y2 ) |
(распределение Коши).
Найдем функцию распределения F(x, y):
|
1 |
x |
y |
dxdy |
|
|
|
1 |
π |
|
1 |
π |
|
||||||||
F(x, y) = |
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
arctg x + |
|
|
|
|
arctg y + |
|
|
= |
π |
2 |
(1+ x |
2 |
)(1 |
+ y |
2 |
) |
|
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 1π
y
R
0 |
1 |
|
Рис.1. |
arctg x + |
1 |
|
|
1 |
arctg y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Определим |
|
|
вероятность |
|
|
|
попадания |
|||||||||||||||||||||||
случайнойточки(X, Y) вквадратR (рис.1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
P{(X ,Y ) R}= |
|
1 |
|
1 1 |
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||
|
π |
2 |
|
(1+ x |
2 |
)(1 |
+ y |
2 |
) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
1 |
|
arctg1 arctg1 = |
1 |
|
π2 |
|
= |
|
1 |
|
. |
||||||||||||||||||
x |
π2 |
π2 |
16 |
|
16 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Плотность компоненты X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x) |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
π |
2 |
(1+ x |
2 |
)(1+ y |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
dy |
|
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
, −∞ < x < ∞ .♦ |
||||
π |
2 |
2 |
) |
1 |
+ y |
2 |
π |
2 |
2 |
) |
π(1 + x |
2 |
) |
||||||
|
(1+ x |
|
−∞ |
|
|
(1 + x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
2. |
Числовые |
характеристики |
системы |
случайных величин |
|
|
||
|
Моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется |
|||
математическое ожидание произведения |
|
|||
|
|
αk,s = M[X k Y s ] , k, s N . |
|
|
|
Для дискретных случайных величин |
|
||
|
αk,s = ∑∑xik ysj pij , |
pij = P{X = xi , Y = y j }, i, j N, |
||
|
i |
j |
|
|
если ряд сходится абсолютно. |
|
|
||
|
Для непрерывных случайных величин |
|
||
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
αk,s = ∫ |
∫xk ys f (x, y)dxdy , |
|
−∞ −∞
где f (x, y) - плотность распределения системы (X, Y), если интеграл
существует.
Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) - математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).♦
Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения (X −MX )k (Y −MY )s :
µk,s = M (X − MX )k |
(Y − MY )s |
, k, s N . |
|
|
|
Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) - дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. ♦
Момент порядка (1,1) µ11 = M [(X − MX )(Y − MY )] называется ковариацией случайных величин X и Y.