§12. Среднее значение измеряемой величины

По определению

(12.1)

Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложим по собственным функциям оператора:

(12.2)

По равенству Парсеваля .

Т.к. оператор линейный, то его можно занести под знак суммы:

(12.3)

Подставляя (12.3) в числитель, а (12.2) в знаменатель для (12.1), имеем

Из теории вероятности , где- вероятность получения, тогда

§13. Вероятность результатов измерения

Пусть - вероятность того, что при измерении величиныдля системы, находящейся в состояниимы получим результат. Если система находится в состоянии, то величинапри измерении выходит с вероятностью равной 1:

В общем случае;

Если полная производная оператора удовлетворяет равенству

,

то собственная функция оператора _{описывает состояние системы.}

Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины Aдля системы, находящейся в состоянии, лежит в интервале отдо, определяется следующим выражением:

,(13.1)

или плотность вероятности

§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии

Будем использовать координатное представление (-представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводится к умножению на вектор , т. е.(это определение действия оператора ).

Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:

,

однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.

Оператор энергии или гамильтониан :

,

здесь - оператор кинетической энергии,- оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:

Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.

Тут присутствует и , ноиодновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо, либооказываются неизвестными.

§ 19 Волновое уравнение

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:

Норма волновой функции:

- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале.

Наложим на - условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени.

На базе ограничения получим некоторые ограничения на.

Обозначим . Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число.

Но - число вещественное. Отсюда можно представить

(19.1)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.

Подставим (19.1) в равенство , тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор- эрмитов: .

Свойства оператора :

В пределе перехода к классической механике: , то, гдеS – действие из классической механики. Причем, тогда рассматривая

, (19.2)

где - функция Гамильтона.

В нашем случае , тогда учитывая предельный переходи (19.2), то: .

Получили волновое уравнение:

- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).

Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.