§4. Полный набор динамических переменных

Полный набор динамических переменных – это наибольший набор независимых одновременно измеряемых динамических переменных. Измерение полного набора динамических переменных полностью определяет состояние квантово-механической системы. Число динамических переменных в квантовой системе - nи по сравнению с классической системой (2n) уменьшается в 2 раза. Максимальный набор – это значит, что к этому набору не может быть добавлена ни одна другая переменная, которая не являлась бы их функцией. В этом случае они не зависимы. Каждая из этих переменных не является функцией другой переменной из этого же набора. Заметим, что здесь зависимость не линейная (как в линейной алгебре), а функциональная.

§5. Постулаты квантовой механики

Часто выделяют 4 постулата:

1. Постулат о волновой функции.

Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы) может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных (из полного набора) и времени, полностью описывающей состояние системы.

Динамические переменные одновременно измеримы. -n– мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени- описывает эволюцию квантово-механических систем. классической механике задание2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона. В квантово-механической системе описывается эволюция системы через- функцию отnдинамических переменных.

2. О связи физических величин и объектов математики (операторов).

Каждой физической величине (наблюдаемой) ставится в соответствие оператор: .

3. Связь между результатами измерения физической величины и значением оператора(т. е. решением математических задач)

Пусть - значение физической величины, которое получено в результате измерения системы, находящейся вi-том квантовом состоянии.

является одним из собственных значений оператора. Это задача на собственные функции и собственные значения. Задача определяет собственные значения, соответствующиеи определяет собственные функции, соответствующие собственным значениям. Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре. Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный.

4. Определение среднего значения физической величины

Здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства. Гильбертово пространство – это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций). Если - квадратично интегрируемые функции, тогда:

Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан перехода. Значок «*» означает комплексное сопряжение.

Это аналог длины в векторном пространстве.

§7. Волновая функция и ее свойства

Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы с точностью до фазового множителя, т. е.

т. е. иописывает одно и тоже состояние, где- фазовый множитель. Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки). Функции- нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точкине нормируема.

- элементарный объем

- вероятность того, что динамические переменныележат в интервале. Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций. Для не квадратично интегрируемых функций величинапропорциональна плотности вероятности.