§ 5. Обобщающие примеры для линейных уравнений Эйлера.

Набор обобщающих Примеров, представленных ниже, предназначен оказать максимальную помощь студентам, испытывающим трудности при изучении темы: Линейные уравнения Эйлера.

☺ ☻ ☺

Пример 10–01: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: . В нашем случае:,. Используя формулу (6), получаем:→.

1). Из характеристического уравнения имеем:=и ФСР:=,=.

2). Общее решение: =, где.

Ответ: общее решение уравнения:=, где.

Способ-2.

0). Применим подстановку: . Учитывая результаты применения Способа-1, сразу записываем уравнение:и вычисляем:=.

1). Учитывая подстановку , записываем ФСР:=и=.

2). Общее решение: =.

Ответ: общее решение уравнения:=.

Замечание: обратим внимание на особенности применения второго способа в связи с преобразованием (5) для случая комплексных корней!

Пример 10–02: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: . В нашем случае:,. Используя формулу (6), получаем:→, правая часть:– многочлен 1-й степени.

1). Из характеристического уравнения имеем:=–2,=3. Составляем по общему правилу ФСР:=,=.

2). Общее решение: =.

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что для функции числоне совпадает с характеристическими корнями,, получаем=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного уравнения, найдем производные:=,=0. Подставив,,в уравнение, получим тождество:, откуда находим:=–2,=. Значит:=.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+=, где, или=.

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–03: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: . В нашем случае:,. Используя формулу (6), получаем:→.

1). Из характеристического уравнения имеем:==0,=3. Составляем по общему правилу ФСР:=1,=,=.

2). Общее решение: =, где.

Замечание: из записей=1,=следует, что при использовании переменнойучёт кратности характеристического корняотражается в виде:=, а при переходе к переменной– в виде:=.

Способ-2.

0). Применим подстановку: . Учитывая результаты применения Способа-1, сразу записываем уравнение:и==0,=3.

1). Учитывая Замечание, записываем ФСР: =1 и==,=.

2). Общее решение: =.

Ответ: общее решение уравнения:=.

Пример 10–04: Выделить решение уравнения: , удовлетворяющее краевым условиям: , .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни:=–1,=1.

2). Составляем ФСР: ,и общее решение:=.

3). Используя краевые условия, запишем: =,=. Находим:==. Следует частное решение:==.

Замечание: Выражения для произвольных постоянных величин, а также частное решение, используют известную функцию– гиперболический синус.

Ответ: Частное решение:=.

Пример 10–05: Выделить решение уравнения: , удовлетворяющее краевым условиям: , .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни:.

2). ФСР: ,. Общее решение:=. Вычислим производную:=.

3). Используя краевые условия, запишем: =,=. Находим:=. Следует частное решение:=– единственное решение.

Ответ: Частное решение:=– единственное решение.

Пример 10–06: Найти общее решение уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

. Преобразуем заданное уравнение к стандартной форме, применяя замену переменной: . С учётом этой замены вычислим:и==2∙,==4. Теперь считаем, чтои уравнение принимает вид:, но теперь учитываем производные по переменной.

1). Применим подстановку: =. В нашем случае:,. Используя формулу (6), получаем:→.

2). Из характеристического уравнения имеем:==1 – кратность корня. Составляем по общему правилу ФСР:=,=, где=.

2). Записываем общее решение: =.

Ответ: общее решение уравнения:=.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое уравнение Эйлера?

2. Какие стандартные способы решения однородного уравнения Эйлера?

3. Какие стандартные способы решения неоднородного уравнения Эйлера?

4. Что значит граничные условия при решении ДУ?

5. Как ищут решение ДУ, удовлетворяющее заданным граничным (краевым) условиям?

• ◄ ≡ ► •