2.2. Способ-2 решение однородного дифференциального уравнения Эйлера.

Если внимательно проследить все действия, предлагаемые для решения уравнения Эйлера при помощи подстановки =, можно заметить, что для решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (6) применяется форма функции-решения=. Учитывая, что==, возникает вопрос-догадка – а почему бы не попробовать решение уравнения Эйлера сразу искать в виде подстановки=?.. Тогда не понадобятся все эти сложности-громоздкости в виде формул (5) (или (7-8))!..

Так как для решения заданного уравнения принимается =, вычислим все необходимые для уравнения (4) производные:

(9)

Подставляя выражения (9) в линейное однородное уравнения Эйлера 3-го порядка, получаем характеристическое уравнение:

. (10)

Нетрудно заметить, что характеристическое уравнение (10) и характеристическое уравнение для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (6) совпадают!

Обобщение:1). Получение характеристического уравнения непосредственно для уравнения Эйлера простой подстановкой=весьма привлекательно ввиду минимальной (по сравнению с другими способами) трудоёмкости!

2). Опыт решения линейного уравнения (6) оказывается полезным, когда при решении характеристического уравнения (10) требуется учесть (осознанно!) кратность корней и комплексно-сопряжённые корни!..

В рассмотренных ниже Примерах особенности решения линейного уравнения Эйлера применением Способа-2 подробно иллюстрируются.

☺☺

Пример 10–04: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: =. В заданном уравнении коэффициенты равны:=1,=0,=–2,=0. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Корни характеристического уравнения Эйлера: =0,=0,=3.

3). Строим ФСР: =,=∙,=, записываем общее решение линейного уравнения Эйлера:=.

Замечание: При формировании ФСР в записи функции-решениядобавлен множитель. При использовании подстановки=такой учёт кратности характеристического корнякажется неожиданным. Но это очевидно следует из алгоритма решения линейного однородного уравнения (6) с постоянными коэффициентами при использовании подстановки=!..

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–05: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: =. В заданном уравнении коэффициенты равны:=1,=0,=–2,=0. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнения:

, или .

2). Корни характеристического уравнения Эйлера: =0,=0,=3.

3). Строим ФСР: =,=∙,=, записываем общее решение линейного уравнения Эйлера:=.

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–06: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применим подстановку: =. В нашем случае:,. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем:=и ФСР:=,=, записываем общее решение линейного уравнения Эйлера:=.

Замечание: При формировании ФСР в записи функций-решенийиприменены тригонометрические функциии. При использовании подстановки=такое использование комплексно сопряжённых характеристических корней кажется весьма неожиданным. Но это очевидно следует из алгоритма решения линейного однородного уравнения (6) с постоянными коэффициентами при использовании подстановки=!..

Ответ: общее решение уравнения:=.

Пример 10–07: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:=0,=1,=,=6. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=2,=3.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=, записываем общее решение линейного уравнения:=.

4). Учитывая =, запишем общее решение исходного уравнения:=.

Ответ: общее решение:=.

Способ-2.

1). Применяем подстановку: =. Учитываем:=0,=1,=,=6. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем:=2,=3 и ФСР:=,=, записываем общее решение линейного уравнения Эйлера:=.

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–08: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:=0,=1,=−3,=3. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=1,=3.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=, записываем общее решение линейного уравнения:=.

4). Учитывая =, запишем общее решение исходного уравнения:=.

Ответ: общее решение:=.

Способ-2.

1). Применяем подстановку: =. Учитываем:=0,=1,=−3,=3. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем:=1,=3 и ФСР:=,=, записываем общее решение линейного уравнения Эйлера:=.

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–09: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:=0,=1,=−3,=4. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=2 – кратный.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=(учтена кратность характеристического корня), записываем общее решение линейного уравнения:=.

4). Учитывая =, запишем общее решение исходного уравнения:=.

Ответ: общее решение:=.

Способ-2.

1). Применяем подстановку: =. Учитываем:=0,=1,=−3,=4. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем:=2 – кратный. Тогда ФСР:=,=, записываем общее решение линейного уравнения Эйлера:=.

Ответ: общее решение:=.

Выводы:1). Применение для решения уравнения Эйлера Способа-1 с использованием понятия сложной функции наиболее рационально!

2). Так как предполагается решать уравнение Эйлера (4) применением стандартного алгоритма:уравнение (4)→[готовая технология]→уравнение (6), то это значит, что трудоёмкость решения линейного уравнения (6) и характеристического уравнения (10) одинаковы.

3). При использовании Способа-2 построение ФСР в случае кратных и комплексных характеристических корней выглядит в значительной степени искусственно: требует трансформирования соответствующих результатов из Способа-1.

☻