§ 3. Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера.

Изучение линейных неоднородных уравнений Эйлера также целесообразно начинать с уравнений 3-го порядка: . (11)

В случае решения неоднородногоуравнения Эйлера более естественно использование способа решения подстановкой: =. В этом случае стандартный алгоритм решения уравнения (11):

1. Записываем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами для функции =с учётом преобразования=, причём==:

=. (12)

2. Применяем стандартный алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для функции одним из способов:

 если − произвольная функция → применить метод вариации произвольных постоянных величин;

 если − специальная функция → применить метод неопределённых коэффициентов.

3. Полученное любым из способов решение уравнения (12) переписываем с учётом используемой подстановки: заменяем выражением.

Представленные ниже Примеры иллюстрируют наиболее характерные случаи решения неоднородных дифференциальных уравнений Эйлера.

☺☺

Пример 10–10: Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:=1,=0,=–2,=0. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

=, или=.

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=0,=0,=3.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=,=, записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения:=.

4). Правая часть специальная: =. Ей соответствует число==. Устанавливаем классификационный случай – этотак как,и.

5). Ищем частное решение в виде функции =, вычисляем производные: этой функции=,=,=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:, откуда находим:=частное решение=.

6). Учитывая =, запишем общее решение исходного уравнения:=+.

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–11: Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:,. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

=, или=.

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=, записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения:=.

4). Правая часть специальная: =. Ей соответствует число==. Устанавливаем классификационный случай – этотак каки.

5). Ищем частное решение в виде функции =, вычисляем производные: этой функции=,=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:, откуда находим:=2 частное решение=.

6). Учитывая =(то есть), запишем общее решение исходного уравнения:=+.

Ответ: общее решение:=+.

☻

§ 4. Краевые задачи линейных дифференциальных уравнений.

Прежде чем познакомиться с краевыми задачамиещё раз рассмотрим классификацию возможных решений ДУ и применения:

1^*. Произвольное решение: не отмечается признак решения.

2^*. Общее решение: предполагается дальнейшее решение задачи Коши.

3^*. Особое решение: в каждой его точке нарушается условие единственности решения. Поиск особого решения сводится к поиску огибающей линии семейства кривых общего решения.

Решение краевой задачи предполагает выделение из общего решения некоторого частного решения, но условия относят не к одной точке, а к разным точкам. Из геометрических соображений легко установить, что для уравнения 1-го порядка краевая задача не определяется (можем задать только одну точку и из семейства кривых выделить единственную кривую, проходящую через заданную точку). Понятно, что для уравнения 2-го порядка краевая задача может быть определена так: из множества интегральных кривых уравнения =0 выделить ту, которая проходит через точкии.Возможны и другие граничные условия. Ниже приведены Примеры, иллюстрирующие возможные построения граничных условий.

☺☺

Пример 10–12: Выделить решение дифференциального уравнения: , удовлетворяющее краевым условиям: (0)=1, =0.

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение , его корни:=. Запишем общее решение уравнения:=.

2). Воспользуемся краевыми условиями: (0)==1 и==0. Решая полученную систему уравнений, получаем:=1 и=0. Записываем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:=.

Ответ: частное решение:=.

☻

Краевые задачи могут определяться и более сложно. В некоторых случаях условия могут представляться выражениями, куда входят одновременно и значения функций, и значения производных. Для иллюстрации рассмотрим ещё один пример.

☺☺

Пример 10–13: Найти частное решение неоднородного уравнения Эйлера: для заданных краевых условий: =1, =0.

Решение:

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:=0,=1,=−2,=2. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

=, или=.

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=1,=2.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=, записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения:=.

4). Правая часть специальная: =. Ей соответствует число==. Устанавливаем классификационный случай – этотак каки.

5). Ищем частное решение в виде функции =, вычисляем производные: этой функции=,=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:, откуда находим:=частное решение=.

6). Учитывая =(то есть), запишем общее решение исходного уравнения:=+, или=+. Вычислим производную:=+.

7). Вычислим: =+=0,=+=+, аналогично, получаем=+=и=+=+. Используя краевые условия:=1,=0, получаем:=и=−1. Записываем частное решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям:=.

Ответ: частное решение:=.

Пример 10–14: Найти частное решение линейного уравнения: для заданных краевых условий: =, =1.

Решение:

1). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни:=.

2). Строим ФСР для уравнения :=,=, записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения:=.

4). Правая часть специальная: =. Ей соответствует число==. Устанавливаем классификационный случай – этотак каки.

5). Ищем частное решение в виде функции =, вычисляем производные: этой функции=,=. Подставляя функциюи её производные в заданное уравнение, получаем тождество:, откуда находим:=1 частное решение=.

6). Запишем общее решение исходного уравнения: =+, или=. Вычислим производную:=.

7). Краевые условия. Первое: =, второе:=1. Решая полученную систему, получим:=,=и используем их в записи частного решения.

Ответ: частное решение:=.

☻

В рассмотренных примерах Краевые условия применены по аналогии с применением начальных условий. На самом деле, при решении краевых задач необходимо было бы сначала доказать, что условия существования и единственности решения краевой задачивыполнены! Онимогут отличатьсяот условий существования решения задачи Коши!..