1.8. Используя ду 1-го порядка, решить задачи из физики и химии.

Общие сведения.Далее рассматривается 6 типов Примеров по применению дифференциальных уравнений в задачах физики и химии. Каждый из Примеров использует параметры так, что в соответствующем Задании нужно заменить параметры указанными в Задании значениями и оформить (в соответствии с образцом!) решение.

Тип-1: Пуля массой , двигаясь со скоростью , пробивает стену толщиной и вылетает из неё со скорость . Принято, что сила сопротивления стены зависит от скорости движения пули: =. Необходимо найти время движения пули в стене. Какой должна быть толщина стенки , чтобы пуля вылетела из стенки со скоростью =1.

Решение:

Направление оси координат и векторов скорости соответствуют рисунку. Учитывая, что сила сопротивления материала стены направлена против движения пули, в соответствии с законом Ньютона, запишем дифференциальное уравнение:

=.

1). Дифференциальное уравнение имеет тривиальное решение , которое для нас не представляет интереса. Считая , запишем уравнение в виде: – уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим уравнение: .

2). Интегрируя уравнение , получим: , или (здесь учтено свойство произвольной постоянной величины!).

3). Для заданных начальных условий: в момент времени (момент касания пули с доской) скорость пули: . Из формулы вычисляем: и записываем частное решение: – закон движения пули в доске при заданных начальных условиях.

4). Скорость пули в момент вылета из доски равна . Используя закон движения пули в доске, запишем равенство: , откуда вычисляем: .

Замечание: Рассчитать время по формуле невозможно, так как неизвестно отношение массы к коэффициенту сопротивления доски .

5). Продолжим решение задачи. Учитывая: , перепишем закон движения пули в виде: , или в виде: . Для удобства, обозначим: и перепишем уравнение: – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , или .

6). Интегрируя уравнение , получаем . Так как в момент времени координата , можем вычислить . Из формулы нетрудно получить выражение: . Тогда выражение для момента времени принимает вид: . Отсюда получаем: .

7). Теперь можно записать формулу для вычисления времени движения пули в стене при заданных условиях: .

8). Если пуля должна вылететь из стенки со скоростью =1, то, используя , можем записать формулу для вычисления соответствующей толщины стенки: . В этом случае формула для вычисления времени движения пули в стене принимает вид: .

Ответ: время движения пули в стене: , , толщина .

Тип-2: Пусть имеется сосуд, наполненный жидкостью до уровня. Известна зависимость площадипоперечного сечения от высоты:=. В дне сосуда имеется отверстие, площадь которого. Через это отверстие жидкость вытекает. Необходимо определить время, за которое уровень жидкости понизится с начального уровнядо произвольного уровня. Также необходимо определить времяполного опорожнения сосуда. Будем считать, что скоростьvистечения жидкости из сосуда является известной функцией=от уровняжидкости в сосуде (напора).

Общая схема решения задачи и образец оформления:

1). Пусть высота жидкости в сосуде в некоторый момент времени равна . Количество жидкости , вытекшее из сосуда за промежуток времени от момента до , можно вычислить как объём цилиндра с площадью основания и высотой , то есть: =.

2). С другой стороны, можем записать величину , наблюдая понижение уровня жидкости в сосуде, используя закон: =. В этом случае: =.

3). Приравнивая два выражения для величин , получаем уравнение: = – уравнение с разделяющимися переменными. Так как , уравнение можно переписать в виде:

=–.

4). Интегрируя уравнение, получаем общее решение задачи: =–=. Это значит, что полное истечение жидкости из сосуда произойдет за время: =.

Замечание: Если истечение жидкости происходит через малое отверстие (или короткий патрубок), то , где – ускорение силы тяжести, – эмпирический коэффициент (коэффициент расхода).

Ответ: время опорожнения сосуда до уровня h: =. Время полного опорожнения сосуда потребует времени: =.

Справка (помощь): При выполнении конкретного Задания необходимо получить формулу = для указанной в Задании формы сосуда. Ниже показано, как получить названную формулу для используемых в Заданиях сосудов.

Сосуд - прямой цилиндр: в основании круг радиуса R:

В этом случае используем известную в элементарной геометрии формулу для вычисления площади круга радиуса , именно: =.

Сосуд - прямой цилиндр: в основании эллипс с полуосями и :

В этом случае используем известную в математическом анализе формулу для вычисления площади эллипса с полуосями и , именно: =.

Сосуд - прямой конус: основания – круги радиусов и , высота :

Всоответствии с рисунком сначала получим формулу для перевёрнутого конуса: нижнее основание меньше верхнего.

Используя подобие треугольников, выделяемых в осевом сечении конуса (на рисунке оно представлено как трапеция), легко вычислить радиус круга сечения на уровне , именно: =, или, используя диаметры оснований: =.

Нетрудно заметить, в случае, когда нижнее основание будет круг диаметра , а верхнее круг диаметра , формула для вычисления может быть записана в виде: =, или в виде: =.

В каждом из указанных конических сосудов вычисление площади сечения на уровне определяется формулой: =.

Сосуд – полусфера: нижняя её часть круг радиуса, высота :

В этом случае используем известную в элементарной геометрии формулу Пифагора и вычисляем: =. После чего: =.

Тип-3: Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды: движение лодки происходит по инерции (гребецсушит весла!). Масса лодки с гребцом, сила сопротивления движению лодки:=, где– скорость лодки. Начальная скорость лодки равна. Известно (результат наблюдения!), что скорость лодки:. В какой момент временискорость лодки станет равной? Какой путьпройдет лодка до остановки?

Общая схема решения задачи и образец оформления:

1). Для решения задачи необходимо уточнить: система координат, используемая при решении задачи, связана с берегом реки и считается инерциальной. Это значит, что второй закон Ньютона в этой системе выполняется и можно записать дифференциальное уравнение:

,

2). Для удобства записи используемых выражений обозначим: и запишем урав­не­ние в виде, удобном для интегрирования: =.

3). Интегрируя , получаем общее решение: , где – начальная скорость движения лодки. Следует обратить внимание на то, что в задаче не определены ни движущаяся масса, ни коэффициент трения лодки о воду – это дополнительные волнения для того, кто решает задачу!.. Но, мы имеем дополнительные сведения (легко устанавливается экспериментально!), которые позволят вычислить коэффициент и полностью определить закон движения лодки.

4). Так как по условию: , то можем записать: . Это значит, что параметр торможения: =. Теперь закон движения лодки определён: .

5). Вычислим , когда скорость лодки станет равной : .

6). Вычислим путь , который пройдет лодка до остановки. Учитывая, скорость есть производная перемещения, запишем: . Принимая начальное положение лодки , запишем: ===.

Замечание: при вычислении несобственного интеграла учтено, что для верхнего предела значение этого интеграла равно нулю!

Ответ: Вычисление всех необходимых величин определяется формулами: .

Тип-4: Яхта (её полная масса с грузом и экипажем равна) замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) скорости яхты, и под действием сопротивления воздуха, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) квадрату скорости. Необходимо получить общее решение и определить схему проведения эксперимента, позволяющего вычислить коэффициентыидля данной (!) яхты.

Общая схема решения задачи и образец оформления:

1). Для решения задачи необходимо уточнить: система координат, используемая при решении задачи, связана с берегом реки и считается инерциальной. Это значит, что второй закон Ньютона в этой системе выполняется и можно записать дифференциальное уравнение:

, или .

В уравнении используются: обозначения: =, = и =.

2).Из исходной записи уравнения видим решение: =0, то есть =0. Это решение тривиальное: нас не интересует!

3). Уравнение соответствует стандартной записи дифференциального уравнения Бернулли, для случая, когда =2, где =,=–.

4). Решаем уравнение по общему для уравнения Бернулли алгоритму. Применяя подстановку: =, получим линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка в стандартной форме записи:

,

где коэффициенты обозначают величины: == и ==.

5). Применяем подстановку =, где = и =. Вычисляем интеграл: и записываем функцию =. В нашем случае == → =.

5). Вычисляем интеграл =+. В нашем случае: +=+. Обозначив дробь ==, получим =.

6). Записываем: ==∙– общее решение уравнения, где=. В нашем случае:===, где =. Переходя к обозначениям переменных, принятым в уравнении, запишем:=–выражение для скоростияхты.

7). Если начальные условия определены в виде: =0 и=, то закон движения яхты может быть записан в виде:,

где величины и(на самом деле величиныи) подлежат экспериментальному определению.

8). Так как выражение, определяющее закон движения яхты содержит два неизвестных параметра, определяющих свойства конкретной яхты, то для их вычисления необходимо произвести два наблюдения-измерения:

▪ скорости = → получим уравнение: ,

▪ скорости = → получим уравнение: .

9). Используя результаты наблюдения: уравнения и , можем вычислить величины параметров: и (значит, величины и ). Это позволит получить формулу для скорости конкретной яхты при заданных начальных условиях.

Замечание: Нетрудно заметить, что вычисление величин и не будет простым: каждое из уравнений, содержащих и , нелинейное. Для облегчения необходимых вычислений примем во всех заданиях =0.

Ответ: общее решение: =, частное решение: . Схема эксперимента, позволяющего вычислить коэффициенты и , определена в тексте.

Тип-5: Сила токав цепи с сопротивлением, индуктивностьюи напряжениемудовлетворяет уравнению: . Известно, что напряжение в цепи изменяется в соответствии с законом:, гдеи. В распоряжении специалиста имеется амперметр и вольтметр, и он может в любой момент времениизмерить токв цепи и напряжение на любом участке цепи. Специалисту неизвестны величиныи. Необходимо, найдя закон изменения тока в цепи, определить схему проведения эксперимента, позволяющего вычислить неизвестные величины сопротивления и индуктивности цепи. Для простоты вычислений примем начальные условия: при=0 наблюдали ток=0.

Общая схема решения задачи и образец оформления:

1). Приведём заданное дифференциальное уравнение к стандартной форме линейного уравнения относительно с постоянными коэффициентами:

, или .

где обозначено (для удобства записи последующих выражений решения): и .

2). В соответствии со стандартным алгоритмом решения линейного уравнения 1-го порядка примем: ==, где =, =.

3). Вычисляем интеграл:==. Получаем:==.

4). Вычисляем функцию: =. В нашем слу­чае:=+=+, где (для удобства) примем:=.

Вычисление интеграла может быть выполнено применением метода интегрирования по частям. Окончательно:=.

5). Запишем общее решение уравнения: ==.

6). Используя начальные условия: =0, вычисляем значение – это подтверждает удобство записи =. Частное решение: =– закон изменения тока в исследуемой электрической цепи. Если учесть обозначения: и , то =.

7). Так как выражение содержит два неизвестных параметра и , определяющих свойства конкретной цепи, то для их вычисления необходимо произвести два наблюдения-измерения:

▪ в произвольный момент времени при помощи амперметра и вольтметра измерить ток и напряжение на участке сопротивления , затем вычислить: =,

▪ в момент времени измерить → получим уравнение, которое получается подстановкой в выражение величин и .

9). Используя результаты наблюдения: уравнения и , можем вычислить величины параметров: и . Это позволит получить закон изменения тока в конкретной электрической цепи при заданных начальных условиях.

Замечание: Нетрудно заметить, что вычисление величины не будет простым!..

Ответ: частное решение: =. Схема эксперимента, позволяющего вычислить коэффициенты и , определена в тексте.

Тип-6: Замечено, что при радиоактивном распаде некоторого вещества за время число распавшихся атомов определяется величиной , где − число не распавшихся в момент времени атомов. Это значит, что процесс радиоактивного распада может быть определён дифференциальным уравнением: =. В результате решения дифференциального уравнения получили закон радиоактивного распада вещества, который определяется выражением: =, где − число не распавшихся в момент времени атомов. Используя понятие период полураспада для конкретного изотопа, вычислить какая часть атомов этого изотопа распадётся за время .

Общая схема решения задачи и образец оформления:

1). Так как за время распадается половина атомов, то можем записать: , откуда легко вычисляем: . Используя параметр , запишем: =

2). Зная величину , для заданного времени вычисляем . После этого нетрудно определить какая часть атомов этого изотопа распадётся за время : .

Закон радиоактивного распада вещества определяется выражением: =, где − число не распавшихся в момент времени атомов. Используя параметр − период полураспада для конкретного изотопа, вычислить какая часть атомов этого изотопа распадётся за время , если и . Совет: для вычисления величины воспользоваться максимально простой формулой!

Задание 1.8. Решить задачи из физики и химии:

1.8.1.Пуля массой, двигаясь со скоростью=500, пробивает стену толщиной=и вылетает из неё со скорость=100. Принято, что сила сопротивления стены зависит от скорости движения пули:=. Необходимо найти времядвижения пули в стене. Какой должна быть толщина стенки, чтобы пуля вылетела из стенки со скоростью=1.

1.8.2.Определить время опорожнения сосуда, заполненного водой. Форма сосуда − цилиндр: в основании круг радиуса, высота. Отверстие внизу круглое, его диаметр. Эмпирический коэффициент расхода воды.

1.8.3.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды: движение лодки происходит по инерции (гребецсушит весла!). Масса лодки с гребцом, сила сопротивления движению лодки:=, где– скорость лодки. Начальная скорость лодки равна. Известно (результат наблюдения!), что скорость лодки:. В какой момент временискорость лодки станет равной? Какой путьпройдет лодка до остановки?

1.8.4.Яхта (её полная масса с грузом и экипажем равна), имея начальную скорость, замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) скорости яхты, и под действием сопротивления воздуха, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) квадрату скорости. Решив дифференциальное уравнение, получили закон движения яхты в виде, где величины=и=(значит, величиныи) подлежат экспериментальному измерению. В результате наблюдения за движением яхты была получена информация: в момент времениизмерена скорость, а в момент временискорость. Вычислить коэффициентыидля данной (!) яхты.

1.8.5.Сила токав электрической цепи с сопротивлением, индуктивностьюи напряжением, гдеи, удовлетворяет уравнению: . Для решения уравнения были определены начальные условия: при=0 наблюдали ток=0. Для заданных начальных условий получено частное решение уравнения в виде:. В распоряжении специалиста имеется амперметр и вольтметр, и он может в любой момент времениизмерить токв цепи и напряжение на любом участке цепи. Специалисту неизвестны величиныи. Имея закон изменения тока в цепи, специалист определил схему проведения эксперимента, позволяющего вычислить неизвестные величины сопротивления и индуктивности цепи:

▪ в произвольный момент времени измерил электрический ток: и напряжение на участке сопротивления : .

На основании полученных результатов измерений вычислить сопротивление участка цепи и индуктивность . Точность вычисления и определяет автор решения Задания.

1.8.6.Закон радиоактивного распада вещества определяется выражением:=, где− число не распавшихся в момент времениатомов. Используя параметр − периодполураспада для конкретного изотопа, вычислить какая часть атомов этого изотопа распадётся за время=, если.Совет: для вычисления величинывоспользоваться максимально простой формулой.

1.8.7.Пуля массой, двигаясь со скоростью=600, пробивает стену толщиной=и вылетает из неё со скорость=200. Принято, что сила сопротивления стены зависит от скорости движения пули:=. Необходимо найти времядвижения пули в стене. Какой должна быть толщина стенки, чтобы пуля вылетела из стенки со скоростью=1.

1.8.8.Определить время опорожнения сосуда, заполненного водой. Форма сосуда − цилиндр: в основании эллипс, полуоси которого:и, высота. Отверстие внизу круглое, его диаметр. Эмпирический коэффициент расхода воды.

1.8.9.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды: движение лодки происходит по инерции (гребецсушит весла!). Масса лодки с гребцом, сила сопротивления движению лодки:=, где– скорость лодки. Начальная скорость лодки равна. Известно (результат наблюдения!), что скорость лодки:. В какой момент временискорость лодки станет равной? Какой путьпройдет лодка до остановки?

1.8.10.Яхта (её полная масса с грузом и экипажем равна), имея начальную скорость, замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) скорости яхты, и под действием сопротивления воздуха, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) квадрату скорости. Решив дифференциальное уравнение, получили закон движения яхты в виде, где величины=и=(значит, величиныи) подлежат экспериментальному измерению. В результате наблюдения за движением яхты была получена информация: в момент времениизмерена скорость, а в момент временискорость. Вычислить коэффициентыидля данной (!) яхты.

1.8.11.Сила токав электрической цепи с сопротивлением, индуктивностьюи напряжением, гдеи, удовлетворяет уравнению: . Для решения уравнения были определены начальные условия: при=0 наблюдали ток=0. Для заданных начальных условий получено частное решение уравнения в виде:. В распоряжении специалиста имеется амперметр и вольтметр, и он может в любой момент времениизмерить токв цепи и напряжение на любом участке цепи. Специалисту неизвестны величиныи. Имея закон изменения тока в цепи, специалист определил схему проведения эксперимента, позволяющего вычислить неизвестные величины сопротивления и индуктивности цепи:

▪ в произвольный момент времени измерил электрический ток: и напряжение на участке сопротивления : .

На основании полученных результатов измерений вычислить сопротивление участка цепи и индуктивность. Точность вычисленияиопределяет автор решения Задания.

1.8.12.Закон радиоактивного распада вещества определяется выражением:=, где− число не распавшихся в момент времениатомов. Используя параметр − периодполураспада для конкретного изотопа, вычислить какая часть атомов этого изотопа распадётся за время=, если.Совет: для вычисления величинывоспользоваться максимально простой формулой.

1.8.13.Пуля массой, двигаясь со скоростью=700, пробивает стену толщиной=и вылетает из неё со скорость=200. Принято, что сила сопротивления стены зависит от скорости движения пули:=. Необходимо найти времядвижения пули в стене. Какой должна быть толщина стенки, чтобы пуля вылетела из стенки со скоростью=1.

1.8.14.Определить время опорожнения сосуда, заполненного водой. Форма сосуда − перевёрнутый конус: нижнее основание круг диаметра, верхнее круг диаметра, высота. Отверстие внизу круглое, его диаметр. Эмпирический коэффициент расхода воды.

1.8.15.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды: движение лодки происходит по инерции (гребецсушит весла!). Масса лодки с гребцом, сила сопротивления движению лодки:=, где– скорость лодки. Начальная скорость лодки равна. Известно (результат наблюдения!), что скорость лодки:. В какой момент временискорость лодки станет равной? Какой путьпройдет лодка до остановки?

1.8.16.Яхта (её полная масса с грузом и экипажем равна), имея начальную скорость, замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) скорости яхты, и под действием сопротивления воздуха, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) квадрату скорости. Решив дифференциальное уравнение, получили закон движения яхты в виде, где величины=и=(значит, величиныи) подлежат экспериментальному измерению. В результате наблюдения за движением яхты была получена информация: в момент времениизмерена скорость, а в момент временискорость. Вычислить коэффициентыидля данной (!) яхты.

1.8.17.Сила токав электрической цепи с сопротивлением, индуктивностьюи напряжением, гдеи, удовлетворяет уравнению: . Для решения уравнения были определены начальные условия: при=0 наблюдали ток=0. Для заданных начальных условий получено частное решение уравнения в виде:. В распоряжении специалиста имеется амперметр и вольтметр, и он может в любой момент времениизмерить токв цепи и напряжение на любом участке цепи. Специалисту неизвестны величиныи. Имея закон изменения тока в цепи, специалист определил схему проведения эксперимента, позволяющего вычислить неизвестные величины сопротивления и индуктивности цепи:

▪ в произвольный момент времени измерил электрический ток: и напряжение на участке сопротивления : .

На основании полученных результатов измерений вычислить сопротивление участка цепи и индуктивность. Точность вычисленияиопределяет автор решения Задания.

1.8.18.Закон радиоактивного распада вещества определяется выражением:=, где− число не распавшихся в момент времениатомов. Используя параметр − периодполураспада для конкретного изотопа, вычислить какая часть атомов этого изотопа распадётся за время=, если.Совет: для вычисления величинывоспользоваться максимально простой формулой.

1.8.19.Пуля массой, двигаясь со скоростью=800, пробивает стену толщиной=и вылетает из неё со скорость=200. Принято, что сила сопротивления стены зависит от скорости движения пули:=. Необходимо найти времядвижения пули в стене. Какой должна быть толщина стенки, чтобы пуля вылетела из стенки со скоростью=1.

1.8.20.Определить время опорожнения сосуда, заполненного водой. Форма сосуда − конус: нижнее основание круг диаметра, верхнее круг диаметра, высота. Отверстие внизу круглое, его диаметр. Эмпирический коэффициент расхода воды.

1.8.21.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды: движение лодки происходит по инерции (гребецсушит весла!). Масса лодки с гребцом, сила сопротивления движению лодки:=, где– скорость лодки. Начальная скорость лодки равна. Известно (результат наблюдения!), что скорость лодки:. В какой момент временискорость лодки станет равной? Какой путьпройдет лодка до остановки?

1.8.22.Яхта (её полная масса с грузом и экипажем равна), имея начальную скорость, замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) скорости яхты, и под действием сопротивления воздуха, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) квадрату скорости. Решив дифференциальное уравнение, получили закон движения яхты в виде, где величины=и=(значит, величиныи) подлежат экспериментальному измерению. В результате наблюдения за движением яхты была получена информация: в момент времениизмерена скорость, а в момент временискорость. Вычислить коэффициентыидля данной (!) яхты.

1.8.23.Сила токав электрической цепи с сопротивлением, индуктивностьюи напряжением, гдеи, удовлетворяет уравнению: . Для решения уравнения были определены начальные условия: при=0 наблюдали ток=0. Для заданных начальных условий получено частное решение уравнения в виде:. В распоряжении специалиста имеется амперметр и вольтметр, и он может в любой момент времениизмерить токв цепи и напряжение на любом участке цепи. Специалисту неизвестны величиныи. Имея закон изменения тока в цепи, специалист определил схему проведения эксперимента, позволяющего вычислить неизвестные величины сопротивления и индуктивности цепи:

▪ в произвольный момент времени измерил электрический ток: и напряжение на участке сопротивления : .

На основании полученных результатов измерений вычислить сопротивление участка цепи и индуктивность. Точность вычисленияиопределяет автор решения Задания.

1.8.24.Пуля массой, двигаясь со скоростью=900, пробивает стену толщиной=и вылетает из неё со скорость=100. Принято, что сила сопротивления стены зависит от скорости движения пули:=. Необходимо найти времядвижения пули в стене. Какой должна быть толщина стенки, чтобы пуля вылетела из стенки со скоростью=1.

1.8.25.Определить время опорожнения сосуда, заполненного водой. Форма сосуда − полусфера: нижнее основание круг радиуса, высота. Отверстие внизу круглое, его диаметр. Эмпирический коэффициент расхода воды.

1.8.26.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды: движение лодки происходит по инерции (гребецсушит весла!). Масса лодки с гребцом, сила сопротивления движению лодки:=, где– скорость лодки. Начальная скорость лодки равна. Известно (результат наблюдения!), что скорость лодки:. В какой момент временискорость лодки станет равной? Какой путьпройдет лодка до остановки?

1.8.27.Яхта (её полная масса с грузом и экипажем равна), имея начальную скорость, замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) скорости яхты, и под действием сопротивления воздуха, которое пропорционально (коэффициент пропорциональности) квадрату скорости. Решив дифференциальное уравнение, получили закон движения яхты в виде, где величины=и=(значит, величиныи) подлежат экспериментальному измерению. В результате наблюдения за движением яхты была получена информация: в момент времениизмерена скорость, а в момент временискорость. Вычислить коэффициентыидля данной (!) яхты.

1.8.28.Закон радиоактивного распада вещества определяется выражением:=, где− число не распавшихся в момент времениатомов. Используя параметр − периодполураспада для конкретного изотопа, вычислить какая часть атомов этого изотопа распадётся за время=, если.Совет: для вычисления величинывоспользоваться максимально простой формулой.

Внимание.Задания по физике и химии оформляются отдельным документом и подлежат коллективной защите: коллектив формируется по признаку типа Задания.