1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли.

Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Также важно знать, что уравнение Бернулли отличается от линейного дифференциального уравнения 1-го порядка только множителем в его правой части, причём необходимоне равно 0 и 1, так как при этих значениях уравнение Бернулли превращается в линейное уравнение. Заметим, что для случаев>0 сразу выделяется одно из решений уравнения:=0.

Задача: Имеем уравнение, приведённое к виду: . Необходимо найти все его решения. Если заданы начальные условия, найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Общая схема решения задачи:

1). Убедившись, что заданное уравнение есть уравнение Бернулли, при помощи подстановки преобразуем его в линейное уравнение:

, или: . (1.6)

2). Применив стандартный алгоритм решения линейного уравнения, находят функцию . Учитывая использованную подстановку, записывают решение исходного уравнения. При оформлении решения, в случае>0 учитывают также решение:=0.

3). Если заданы начальные условия: , выделяем из общего решения соответствующее частное решение.

4). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.

Пример (и образец оформления):

Пример 1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли:∙.

Решение:

1). Заданное дифференциальное уравнение есть уравнение Бернулли, для случая =, одним из решений которого есть .

2). Применяя подстановку =, получаем линейное дифференциальное уравнение: , где и . Решение ищем в виде: .

2). Применим подстановку: =, перепишем заданное уравнение по общей формуле:, то есть в форме:, или, где=,=.

3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв.

4). Вычисляем интеграл: ==и записываем выражение:==.

5). Вычисляем: =+=+ ==+.

6). Запишем общее решение уравнения: =∙, или=∙.

Ответ: =∙– общее решение, также решение .

Задание 1.5. Решить уравнение Бернулли:

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.5.1.	.	1.5.16.	.
1.5.2.	.	1.5.17.	.
1.5.3.	.	1.5.18.	.
1.5.4.	.	1.5.19.	.
1.5.5.	.	1.5.20.	.
1.5.6.	.	1.5.21.	.
1.5.7.	.	1.5.22.	.
1.5.8.	.	1.5.23.	.
1.5.9.	.	1.5.24.	.
1.5.10.	.	1.5.25.	.
1.5.11.	.	1.5.26.	.
1.5.12.	.	1.5.27.	.
1.5.13.	.	1.5.28.	.
1.5.14.	.	1.5.29.	.
1.5.15.	.	1.5.30.	.

1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах.

Общие сведения. Пусть имеем функцию двух переменных:. В математическом анализе для такой функции определено понятиеполного дифференциала:, гдеи– частные производные функциипо переменными, соответственно. В частном случае, когда, запишем:. Оказывается, при выполнении определённых условий, выражение является дифференциалом некоторой функции. В таком случае уравнение: называют уравнением в полных дифференциалах и применяют специальный алгоритм для нахождения его решения:.

Задача: Имеем уравнение: . Показать, что заданное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и решить его, применив стандартный алгоритм решения.

Общая схема решения задачи:

1). Проверяем выполнение условия: =. Если условие выполняется, то заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Решение ищем в виде функции.

2). Имея функцию =, находим функцию:=+, гдеотражает ту часть функции, которая была потеряна при дифференцировании:. Для удобства обозначим:=.

3). Функцию находим из условия=, или+=. Для этого необходимо проинтегрировать функцию:=–, то есть вычислить неопределённый интеграл:=.

4). Запишем общее решение уравнения: =+=, где− произвольная постоянная величина.

5). Для создания цельного зрительного образа всего алгоритма решение уравнения в полных дифференциалах представим весь процесс в виде цепочки действий:

=→=–→=→+=.(1.7)

6). Если заданы начальные условия: , выделяем из общего решения соответствующее частное решение.

7). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.

Пример (и образец оформления):

Пример 1.6. Решить уравнение:, предварительно удостоверившись, что заданное ДУ – в полных дифференциалах.

Решение:

1). Вычислим производные: =3 и=3. Равенство=подтверждено, это значит, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Учитывая, что , вычислим:=+. В нашем случае имеем:

=+ =+.

3). Вычислим производную: =–. В нашем случае, учитывая заданное уравнением выражениеи результат (1), получаем:=.

4).Вычислим функцию: ==.

5). Используя функцию , записываем общее решение заданного уравнения в полных дифференциалах:=+==.

Ответ: общее решение уравнения:==.

Задание 1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.6.1.		1.6.16.
1.6.2.		1.6.17.
1.6.3.		1.6.18.
1.6.4.		1.6.19.
1.6.5.		1.6.20.
1.6.6.		1.6.21.
1.6.7.		1.6.22.
1.6.8.		1.6.23.
1.6.9.		1.6.24.
1.6.10.		1.6.25.
1.6.11.		1.6.26.
1.6.12.		1.6.27.
1.6.13.		1.6.28.
1.6.14.		1.6.29.
1.6.15.		1.6.30.