1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение.

Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Также важно знать, что линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка названо линейным потому, что функциивходят в уравнение впервой степени. Линейные дифференциальные уравнения, как и уравнения с разделяющимися переменными, и однородные уравнения, легко распознаются среди других дифференциальных уравнений и имеют хорошо формализованный алгоритм решения.На первом этапе изучения дифференциальных уравнений это также важно!

Замечание: Линейное уравнение может быть записано в виде , что только обозначениями отличается от записи: . Общая схема решения уравнения, линейного относительно , не отличается от схемы решения, представленной ниже.

Задача: Имеем уравнение, приведённое к виду: . Необходимо найти все его решения. Если заданы начальные условия, найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Сведения из теории линейных уравнений:

1). В теории линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка показано, что общая схема решения линейного неоднородного уравнения может быть определена последовательностью действий:

а) найти общее решение однородного уравнения →=;

б) применяя метод вариации произвольной постоянной, записать =и потребовать, чтобы неизвестная функцияпревратила решениеоднородного уравнения в решениедля неоднородного (заданного) уравнения.

2). Применение метода вариации произвольной постоянной величины обнаружило формальное требование: сразу искать решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде функции: , гдеи. Достаточно просто были получены выражения для вычисления функцийи:

, +. (1.5)

3). Общее решение заданного уравнения: =.Указываются также очевидные решения (если такие имеются!), определяемые исходной записью уравнения.

4). Если заданы начальные условия: , из общего решения выделяется соответствующее частное решение.

Общая схема решения задачи:

1). В заданном уравнении указываем признаки линейного уравнения и записываем его в стандартной форме: (или, в соответствии с Заданием).

2). Принимаем и вычисляем функциии, применяя формулы (1.5).

3). Записываем общее решение заданного уравнения: =и очевидные решения (если такие имеются!), определяемые исходной записью уравнения.

4). Если заданы начальные условия: , выделяем из общего решения соответствующее частное решение.

5). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.

Пример (и образец оформления):

Пример 1.4. Решить дифференциальное уравнение. Найти его частное решение при условии:.

Решение:

1). Заданное уравнение линейное относительно и , причём: и .

2). Применяем подстановку: . перепишем заданное уравнение:=.

3). Вычисляем интеграл:→ записываем.

4). Вычисляем интеграл:=+=+ → записываем =·.

5). Используя начальные условия (задача Коши), находим: =1 и записываем частное решение уравнения:=·.

Ответ:=·– общее решение; частное решение уравнения:=·.

Замечание.В задании (1.4) используются линейные уравнения как относительно, так и относительно. Для первого случая начальные условия представлены в виде:, для второго случая в виде:.

Задание 1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение и найти частное решение для заданных начальных условий:

Вар.	Уравнение и начальные условия:	Вар.	Уравнение и начальные условия:
1.4.1.	, .	1.4.16.	, .
1.4.2.	, .	1.4.17.	, .
1.4.3.	, .	1.4.18.	, .
1.4.4.	, .	1.4.19.	, .
1.4.5.	, .	1.4.20.	, .
1.4.6.	, .	1.4.21.	, .
1.4.7.	, .	1.4.22.	, .
1.4.8.	, .	1.4.23.	, .
1.4.9.	, .	1.4.24.	, .
1.4.10.	, .	1.4.25.	, .
1.4.11.	, .	1.4.26.	, .
1.4.12.	, .	1.4.27.	, .
1.4.13.	, .	1.4.28.	, .
1.4.14.	, .	1.4.29.	, .
1.4.15.	, .	1.4.30.	, .