1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Известно, что дифференциальное уравнение 1-го порядка может быть задано и в формес использованием производной, и в формес использованием дифференциалов. Так как решение (интегрирование) уравнения предполагает в любом случае использование записи, будем считать, что преобразование→всегда осуществимо (с учётом требований тождественности).

Замечание: Задания подобраны так, что выражение достаточно просто преобразуется к специальной форме записи: . (1.1)

Задача: Задано дифференциальное уравнение:. Показать, что уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найти общее решение заданного уравнения.

Общая схема решения задачи:

1). В заданном уравнении указываем признаки уравнения с разделяющимися переменными: возможность получить запись уравнения (1.1). Разделяем в заданном уравнении переменныеи. В результате получим общую запись:

. (1.2)

2). Для перехода к записи (1.2) выполнялось деление на функции: и. Если возможны равенства:и, необходимо функции:иучесть как решения исходного уравнения.

3). Интегрируя уравнение (1.2), получим общее решение исходного уравнения (1.1) в виде выражения: .

Замечание: Все Задания подобраны так, чтобы вычисление неопределённых интегралов не вызывало серьёзных затруднений!..

4). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.

Пример (и образец оформления):

Пример 1.2. Решить дифференциальное уравнение.

Решение:

1). Заданное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными: в соответствии с записью (1.1) имеем ;и;. Так каки, то функции:инеобходимо учесть как решения исходного уравнения.

2). Теперь считаем, что . Разделив заданное уравнение на , получим уравнение: – переменные разделились.

3). В результате интегрирования получаем общее решение уравнения в виде или. Учитывая, что− произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде:. При=0 из общего решения получаем также решение.

Ответ:- общее решение (содержит также решениеy= 0);.

Задание 1.2. Решить уравнение с разделяющимися переменными:

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.2.1.		1.2.16.
1.2.2.		1.2.17.
1.2.3.		1.2.18.
1.2.4.		1.2.19.
1.2.5.		1.2.20.
1.2.6.		1.2.21.
1.2.7.		1.2.22.
1.2.8.		1.2.23.
1.2.9.		1.2.24.
1.2.10.		1.2.25.
1.2.11.		1.2.26.
1.2.12.		1.2.27.
1.2.13.		1.2.28.
1.2.14.		1.2.29.
1.2.15.		1.2.30.

1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение.

Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Также важно знать, что однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка названо однородным из-за применения понятияоднородная функция. Однородные дифференциальные уравнения интересны также тем, что легко распознаются среди других дифференциальных уравнений и имеют хорошо формализованный алгоритм решения.На первом этапе изучения дифференциальных уравнений это также важно! Различают записи однородного уравнения: , где– однородная функция нулевого порядка, и, где функциииоднородные одного порядка. Каждой из этих форм записи отвечает свой стандартный алгоритм решения!..

Замечание: Так как между записями дифференциального уравнения в форме, использующей производную: и в форме дифференциалов: легко установить взаимно однозначное соответствие, любое из Заданий может быть решено любым из представленных Способов – по выбору!..

Задача: Имеем дифференциальное уравнение:. Показать, что уравнение является однородным и может быть приведено к форме записи :. Найти общее решение заданного уравнения.

Общая схема решения задачи :

1). В заданном уравнении выделяем признак однородного уравнения и записываем его в форме : при этом соблюдаем требования тождественности преобразований – не потерять очевидные решения. Для решения уравнения применяем подстановку:, то есть.

2). Так мы хотим, чтобы функция была решением уравнения (1), необходимо подставить её в исходное уравнение (по определению!)!.. Так как, после подстановкиивполучаем:, или (так как):

. (1.3)

3). Уравнение (1.3) есть уравнение с разделяющимися переменными! Исследуем равенство: . Если имеется такое число, что, то, илиесть решение уравнения .

4). Теперь примем: . Уравнение (1.3) запишем в виде:. Его интегрирование даёт общий интеграл (решение):. Будем считать, что интеграл удалось вычислить:. Если в последнем заменить, получим общий интеграл уравнения :.

5). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.

Пример (и образец оформления):

Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение.

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидные решения: и .

2). В заданном уравнении указываем признаки однородного уравнения и записываем его в виде (скажем, автору больше нравится этот способ решения):=.

3). Примем и запишем выражение:=. Исследуем равенство:, в нашем случае – повторяет уже имеющееся.

4). Теперь примем и вычислим интеграл==.

5). Для функции получено общее решение:=, или. Учитывая, что, перепишем общее решение использованием:.

Ответ: – общее решение ДУ, также и , причём решение формально можно выделить из общего при значении .

Задача: Имеем дифференциальное уравнение :. Показать, что уравнение является однородным и может быть решено заменой. Найти общее решение заданного уравнения.

Замечание: Учитывая опыт решения Задачи , нетрудно догадаться, что и при решении Задачи может быть построен стандартный алгоритм решения однородного уравнения, который удобно применять в случаях .

Общая схема решения задачи :

1). Выделяем признаки однородного уравнения: функции иоднородные функции одногопорядка. Переписываем заданное дифференциальное уравнениев виде:

. (1.3’)

2). Для перехода к записи (1.3’) выполнялось деление на число . Нужно проверить, не является ли решением функция. Если возможны равенства:и, необходимо также функции:иучесть как решения исходного уравнения.

3). Применим замену: , то есть. Вычислим:. Подставимив уравнение (1.3’):. (1.4)

4). Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными и, то остаётся применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4), используя замену, записываем решение исходного уравнения .

5). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.

Пример (и образец оформления):

Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение.

Решение:

1). Легко заметить, что в нашем случае = и = − однородные функции 2-го порядка. Это значит, заданное уравнение – однородное уравнение. Решаем уравнение применением замены: , то есть .

2). Используя , перепишем уравнение:– уравнение с разделяющимися переменнымии. Для полученного уравнения выделим очевидные решения:=0, то естьи.

3). После этого запишем уравнение в виде: =, которое легко интегрируется:=, или, или. Учитывая, что− произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде:.

4). Учитывая что , запишем общее решение уравнения:. При=0 из общего решения получаем также решение.

Ответ:– общее решение (содержит также решениеy= 0); также=0.

Замечание: Каким способом решать Задание 1.3, каждый решает самостоятельно (в зависимости от личных предпочтений). Рекомендация: сравнение Общих схем и решения Задания вполне очевидно показывает, что схема решения логически проще и менее трудоёмка!..

Задание 1.3. Решить однородное уравнение:

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.3.1.		1.3.16.
1.3.2.		1.3.17.
1.3.3.		1.3.18.
1.3.4.		1.3.19.
1.3.5.		1.3.20.
1.3.6.		1.3.21.
1.3.7.		1.3.22.
1.3.8.		1.3.23.
1.3.9.		1.3.24.
1.3.10.		1.3.25.
1.3.11.		1.3.26.
1.3.12.		1.3.27.
1.3.13.		1.3.28.
1.3.14.		1.3.29.
1.3.15.		1.3.30.