40

БДЗ-ДУ-Часть-1

Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский университет МИЭТ

А. И. Литвинов СБОРНИК ЗАДАНИЙ для самостоятельной работы студентов по курсу «Дифференциальные уравнения» (факультет ИТС) Часть 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го ПОРЯДКА

Учебное пособие Утверждено методическим советом кафедры ВМ-2 Зав. кафедры С. Г. Кальней

Россия, г. Москва 2013 г.

А.И. Литвинов

Сборник заданий

для самостоятельной работы студентов по курсу

«Дифференциальные уравнения»

(факультет ИТС МИЭТ)

Часть 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-го ПОРЯДКА

Учебное пособие

Утверждено методическим советом кафедры ВМ-2

Зав. кафедры С. Г. Кальней

Москва

2013

Прочти, реши и опять прочти!..

АННОТАЦИЯ

Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Дифференциальные уравнения» в части дифференциальных уравнений 1-го порядка. Основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор задач для самостоятельнойдоработки материала Предмета.

По каждой теме, представленной в Сборнике, приведены примеры применения общих алгоритмов, полученных в теории дифференциальных уравнений. Учитывается, что общие алгоритмы достаточно отработаны на семинарских занятиях и при выполнении текущих домашних заданий и не нуждаются в их обосновании.

При оформлении каждого выполненного задания студенты должны руководствоваться иллюстрирующими примерами Сборника: применение общих алгоритмов должно сопровождаться краткими комментариями и пояснениями.

Оглавление

Стр.

Аннотация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.

1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение . . . 5

1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Используя ДУ 1-го порядка, найти уравнение кривой с заданными свойствами . . . . . . . . . . . 18

1.8. Используя ДУ 1-го порядка, решить задачи из физики и химии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9. Дополнительные задачи к Части 1: решить уравнения Лагранжа и Клеро . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

•◄●►•

Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.

1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение.

Общие сведения. Известно, чтообщее решениедифференциального уравнения 1-го порядка может быть представлено в виде выражения:, где− произвольная постоянная величина. Учитывая Теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения, можем утверждать, что при выполнении требований Теоремы в областикаждому (допустимому) значениюсоответствует кривая линия. Учитывая традиции математики: каждой прямой операции определять обратную, поставим вопрос – А нельзя ли, имея функцию, где− параметр, найти такое дифференциальное уравнение (обратная операция), для которого функциябыла бы решением?..

Задача: Пусть задано семейство кривых:, где− параметр. Будем считать, что функцияопределяет неявную функцию(хотя при помощи этой же функции может быть определена неявная функция). Необходимо составить дифференциальное уравнение, решением которого является это семейство.

Общая схема решения задачи:

1). Используя функцию , запишем тождество:. Левая часть этого тождества представляет собой сложную функция переменной, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная её по переменнойтакже есть нуль. Дифференцируя это тождество по переменной , получим:==0.

2). Запишем систему: Исключивпараметр из этой системы, получим выражение, содержащее только переменные− дифференциальное уравнение, решением которого является семейство кривых: .

3). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.

Замечание: В виде подсказки: каждый студент должен знать, что все Задания подобраны так, чтобы указанная система имела вполне простое решение!..

Пример (и образец оформления):

Пример 1.1. Имеем семейство кривых: . Необходимо построить дифференциальное уравнение, для которого данное семейство кривых является решением.

Решение:

1). Считая, что выражение определяет неявнуюфункцию ,продифференцируем это выражение по независимой переменной . Имеем: .

2). Запишем систему: Для исключения из системыпараметра умножим первое равенство на скобку: правые части первого и второго равенств оказались равными. Но тогда равны и левые части первого и второго равенств:−получено дифференциальное уравнение 1-го порядка, решением которогоявляется заданное семейство кривых.

Ответ: семейство кривых: является решением дифференциального уравнения: , или .

Задание 1.1. Составить ДУ для семейства кривых:

Вар.	Семейство:	Вар.	Семейство:
1.1.1.	.	1.1.16.	.
1.1.2.	.	1.1.17.	.
1.1.3.	.	1.1.18.	.
1.1.4.	.	1.1.19.	.
1.1.5.	.	1.1.20.	.
1.1.6.	.	1.1.21.	.
1.1.7.	.	1.1.22.	.
1.1.8.	.	1.1.23.	.
1.1.9.	.	1.1.24.	.
1.1.10.	.	1.1.25.	.
1.1.11.	=.	1.1.26.	.
1.1.12.	.	1.1.27.	.
1.1.13.	.	1.1.28.	.
1.1.14.	.	1.1.29.	.
1.1.15.	.	1.1.30.	.