§ 1.4. Сходящиеся подпоследовательности

1.4.1. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Последовательность называется подпоследовательностью последовательностиесли последовательностей индексовявляется возрастающей.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство. Пусть - ограниченная последовательность, т.е. существуеттакое, что при всехвыполняется неравенствоилиОбозначимРазделим этот отрезок пополам. По крайней мере в одной из частей содержится бесконечно много членов последовательностиобозначим эту часть(если в обеих частях содержится бесконечно много членов последовательностито можно взять любую). Продолжая деление каждого из выбранных отрезков пополам и выбирая ту часть, в которой содержится бесконечно много членов последовательностиполучим систему вложенных стягивающихся отрезков, имеющих общую точку

Построим теперь подпоследовательность ПоложимТак как в отрезкебесконечно много членов последовательности, то найдётся номертакой, чтоЕсли определеното найдётся номертакой, чтои

Докажем, что т.е. что последовательность- сходящаяся. Зададим произвольноТак както найдётсятакое, что при всехсправедливо неравенствоТак кактозначит,Таким образом,Теорема доказана.

Упражнение. Доказать, что из неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Таким образом, из любой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую предел, конечный или бесконечный.

1.4.2. Критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого существуеттакое, что при всехвыполняется неравенство

Доказательство. Пусть Тогда для любогосуществуеттакое, что при всех выполняются неравенства следовательно,

Докажем в обратную сторону. Пусть последовательность такова, что для любогосуществуеттакое, что при всехвыполняется неравенствоНужно доказать, что она сходится. Докажем, что она ограниченна. Возьмёмтогда найдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствоЗафиксируем произвольноеТогда при любомвыполняется неравенствоЗначит, последовательностьограниченна. Следовательно, из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательностьпустьДокажем, что тогдаВозьмём произвольноеТогда существуюттакие, что при всехвыполняется неравенствоа при всехвыполняется неравенствоТак как последовательность номероввозрастающая,то найдётся номертакой, чтоТогда при всехвыполняются неравенстваследовательноПоследовательностьсходится. Теорема доказана.

Следствие. Последовательность расходится тогда и только тогда, когда существует такое, что для любогонайдутсятакие, что выполняется неравенство

Пример. Докажем, что последовательность не имеет предела. Рассмотрим разностьТогда при для любого найдутсятакие, что выполняется неравенствоПоследовательность не имеет предела.

Литература

1. Никольский С.М. Курс математического анализа. М., Физ.-мат.лит., 2006. § 2.7, 2.8, 3.1-3.8