Пределы и непрерывность

Числовые множества.

Последовательности, предел последовательности

Лекции 1-2

1.1. Числовые множества

1.1.1. Ограниченные множества

Определение. Множество называется ограниченным сверху, если существует число такое, что для всех выполняется неравенство При этом число называется верхней гранью множества

Если является верхней гранью множества то любое число также является верхней гранью множества

Определение. Множество называется ограниченным снизу, если существует число такое, что для всех выполняется неравенство При этом число называется нижней гранью множества

Если является нижней гранью множества то любое число также является нижней гранью множества

Определение. Множество называется ограниченным, если существует число такое, что для всех выполняется неравенство

Множество является ограниченным тогда и только тогда, когда оно ограниченно и сверху и снизу.

Определение. Число называется наибольшим (наименьшим) элементом множества если и для всех выполняется неравенство ( ).

Наибольший (наименьший) элемент множества является его верхней (нижней) гранью. Если существует верхняя (нижняя) грань множества принадлежащая то у существует наибольший (наименьший) элемент.

Пример. а) Множество является ограниченным снизу, неограниченным сверху, неограниченным, имеет наименьший элемент, равный 2, не имеет наибольшего.

б) Множество является ограниченным снизу, ограниченным сверху, ограниченным, имеет наименьший элемент, равный 2, не имеет наибольшего.

1.1.2. Точные грани множества

Определение. Точной верхней гранью (или супремумом) множества называется наименьшая из его верхних граней. Обозначается

Если то, во-первых, является верхней гранью во-вторых, любое число не является верхней гранью, то есть:

1. Для любого выполняется неравенство

2. Для любого найдется такой, что

Обозначив получим другую запись пункта 2:

3. Для любого найдется такой, что

Определение. Точной нижней гранью (или инфимумом) множества называется наибольшая из его нижних граней. Обозначается

Если то, во-первых, является нижней гранью во-вторых, любое число не является нижней гранью, то есть:

4. Для любого выполняется неравенство

5. Для любого найдется такой, что

Обозначив получим другую запись пункта 2:

2. Для любого найдется такой, что

Пример. Множеством верхних граней множества является множество Наименьшим элементом множества является 3, Множеством нижних граней множества является множество Наибольшим элементом множества является 2,

Множеством, противоположным множеству называется множество, обозначаемое состоящее из элементов где

Суммой множеств называется множество, обозначаемое состоящее из всевозможных сумм где

Теорема. Если множество имеет супремум, то множество имеет инфимум и

Доказательство. Обозначим Тогда для любого выполняется неравенство Так как для любого найдётся такой, что то для любого выполняется неравенство Возьмём произвольно Тогда найдётся такой, что а значит, значит, найдётся такой, что Тем самым доказано, что

Упражнение. Доказать, что если множество имеет инфимум, то множество имеет супремум и

Теорема. Если множества имеют супремум, то множество также имеет супремум и

Доказательство. Обозначим Произвольное представимо в виде где Тогда выполняются неравенства Значит, Зададим произвольно Тогда найдутся и такие, что Тогда для элемента выполняется неравенство Тем самым доказано, что

Следствие. Если множества имеют инфимум, то множество также имеет инфимум и

Доказательство. Множества и имеют супремум, при этом Тогда их сумма, равная имеет супремум, Множество имеет инфимум,

Разностью двух множеств и называется сумма множеств и

Упражнение. Доказать, что если множество имеет супремум, а множество имеет инфимум, то множество имеет супремум, а множество имеет инфимум. При этом выполняются равенства

1.1.3. Существование точных граней

Лемма о сечениях. Если непустые множества и таковы, что и для любых двух элементов выполняется неравенство (т.е. ), то либо в есть наибольший, либо в есть наименьший.

Теорема о существовании точной верхней грани. Если непустое множество ограниченно сверху, то у него существует супремум.

Доказательство. Рассмотрим множество состоящее из верхних граней множества Так как ограниченно сверху, то Пусть - множество чисел, не являющихся верхними гранями множества Тогда Кроме того, для произвольного выполняется неравенство значит то есть Покажем, что Предположим, что это не так, тогда найдутся такие, что ( т.к. ). Но так как - верхняя грань, то и - также верхняя грань, т.е. Получили противоречие.

Таким образом, множества и удовлетворяют условию леммы о сечениях, следовательно, в есть наибольший или в есть наименьший. Предположим, что является наибольшим элементом Так как - не верхняя грань множества то найдётся такой, что Рассмотрим число Тогда не является верхней гранью, т.е. но значит не является наибольшим в Получили противоречие. Следовательно, в нет наибольшего, значит, в есть наименьший элемент, который и является, согласно определению, точной верхней гранью (супремумом) множества Теорема доказана.

Следствие (существование точной нижней грани). Если непустое множество ограниченно снизу, то у него существует инфимум.

Доказательство. Если непустое множество ограниченно снизу, то непустое множество ограниченно сверху. Тогда существует а значит, существует