§ 1.2. Предел последовательности
Предельные точки и предел последовательности
Для
точки
произвольной
интервал
содержащий точку
называется её окрестностью,
обозначается
Множество
называется проколотой
окрестностью
точки
и
обозначается
Окрестность вида
называется
-окрестностью
точки
и
обозначается
Определение.
Число
называется предельной
точкой
последовательности
если для любого
и любого натурального числа
найдётся натуральное число
такое, что выполняется неравенство
Теорема. Число является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда в любой её окрестности находится бесконечно много членов последовательности.
Доказательство.
Пусть
является предельной точкой
последовательности
и найдётся такая её окрестность, в
которой находится лишь конечное число
членов последовательности, а именно
… ,
Положим
тогда в
-окрестности
нет
ни одного члена последовательности,
что противоречит тому, что
является предельной точкой.
Пусть
теперь в любой окрестности точки
находится
бесконечно много членов последовательности.
Тогда для любого
и любого натурального числа
найдётся натуральное число
такое, что выполняется неравенство
иначе в окрестности
находилось бы лишь конечное число членов
последовательности, не превосходящее
Следовательно, точка
является предельной точкой
последовательности
Теорема доказана.
Пример.
У
последовательности
две
предельные точки
и
так как в любой окрестности точки
находятся члены с нечётными номерами,
в любой окрестности точки 1 - с нечётными.
Предельных
точек может быть как угодно много. Так,
например, множеством предельных точек
последовательности
является
отрезок
Определение.
Число
называется пределом
последовательности
(обозначается
)
если для любого
найдётся натуральноё число
такое, что при всех натуральных
выполняется неравенство
Последовательность
при
этом называется сходящейся.
Таким
образом, если
то
вне окрестности точки
находится лишь конечное число членов
последовательности, не превосходящее
Предел всегда является предельной
точкой, предельная точка не обязана
быть пределом.
Упражнение. Сформулировать утверждения:
а)
не является предельной точкой
последовательности
б) не является пределом последовательности
в) последовательность не имеет предела.
Пример.
Докажем,
что
Возьмём произвольное
и найдём натуральноё число
такое, что при всех натуральных
выполняется неравенство
где
обозначает целую часть числа
т.е. наибольшее целое число, не превосходящее
Теорема о единственности предела. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство.
Предположим, что последовательность
имеет
по крайней мере два предела:
и
Положим
Согласно определению предела найдутся
натуральные числа
и
такие, что при всех
выполняется неравенство
а при всех
выполняется неравенство
Тогда при
выполняются неравенства:
Следовательно,
Полученное противоречие доказывает,
что предположение о существовании двух
пределов ложно. Теорема доказана.
Упражнение. Выяснить, верны ли утверждения:
а) если у последовательности есть предел, то у неё ровно одна предельная точка;
б) если у последовательности одна предельная точка, то у неё существует предел.