2. Свойства предела последовательности

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Если последовательность сходящаяся, то она ограниченна, т.е. существует такое числочто при всехвыполняется неравенство

Доказательство. Пусть тогда длясуществует такое, что при всех выполняется неравенство Тогда при всех выполняется где

Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Пусть и при всехвыполняется неравенствоТогда

Доказательство. Предположим, что и возьмёмТогда найдутся натуральные числаитакие, что при всех натуральныхвыполняется неравенствоа при всех натуральныхвыполняется неравенствоТогда привыполняются неравенстват.е.Полученное противоречие доказывает, что предположение о том, чтоложно, значит,Теорема доказана.

Замечание. Если в условии теоремы знак неравенства поменять на строгий, то в заключении теоремы он останется нестрогим,Так, для последовательностейивыполняется неравенствооднако

Теорема (лемма о двух милиционерах). Если последовательности сходятся иа последовательностьтакова, что привыполняются неравенстватосходится и

Доказательство. Согласно определению предела найдутся натуральные числа итакие, что при всех натуральныхвыполняется неравенствоа при всех натуральныхвыполняется неравенствоТогда привыполняются неравенства

т.е. при гдевыполняется неравенствоСледовательно, Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим последовательность Так каки то

Теорема о сохранении знака сходящейся последовательности. Если то найдётся такое, что при всехвыполняется неравенствоПри этом, еслитоеслито

Доказательство. Положим Тогда найдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствот.е.Прииз левого неравенства получаемПрииз правого неравенства получаемВ обоих случаях выполняется неравенствоТеорема доказана.

3. Арифметические свойства предела последовательности

Теорема. Если существуют пределы ито существуют следующие пределы и выполняются равенства:

1) 2)

3) 4) при

Доказательство. Докажем сначала, что Зададим произвольноСогласно определению предела найдутся натуральные числаитакие, что при всех натуральныхвыполняется неравенствоа при всех натуральныхвыполняется неравенствоТогда привыполняются неравенства

Следовательно,

Докажем теперь, что Зададим произвольноИмеем

Рассмотрим первое слагаемое Так как последовательностьсходится, то она ограниченна, т.е. существуеттакое, чтоТак както для любогонайдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствои тогда

Для второго слагаемого приимеемПринайдется найдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствои тогдаТаким образом, привыполняется неравенствоСледовательно,

Если теперь взять то получим

Для разности двух последовательностей по уже доказанным свойствам имеем

Для доказательства свойства предела частного докажем сначала, что приЗададим произвольноИмеемПо теореме о сохранении знака найдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствоТак както для любогонайдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствои тогда привыполняется неравенствоТем самым доказано, что

Используя доказанные свойства, получаем

Теорема доказана.

Пример. Вычислим Имеем

По свойствам пределов получаем

Аналогично, Таким образом,и

Утверждение. Если то(при нечётныхипри чётных).

Доказательство. Зададим произвольно ПриимеемеслиТак както найдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствот.е.Следовательно,

При по теореме о сохранении знака найдётсячто при всехвыполняется неравенствоИмеем

Так как то найдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствоТогда при всехвыполняется неравенствоследовательно,

При и нечётномпо теореме о сохранении знака найдётсячто при всехвыполняется неравенствоТогда рассмотрим последовательностьТогда по доказанномуи