1.1.3. Существование точных граней

Лемма о сечениях. Если непустые множества итаковы, чтои для любых двух элементоввыполняется неравенство(т.е.), то либо весть наибольший, либо весть наименьший.

Теорема о существовании точной верхней грани. Если непустое множество ограниченно сверху, то у него существует супремум.

Доказательство. Рассмотрим множество состоящее из верхних граней множества Так как ограниченно сверху, то Пусть - множество чисел, не являющихся верхними гранями множестваТогда Кроме того, для произвольного выполняется неравенство значит то есть Покажем, что Предположим, что это не так, тогда найдутся такие, что ( т.к. ). Но так как - верхняя грань, то и - также верхняя грань, т.е. Получили противоречие.

Таким образом, множества иудовлетворяют условию леммы о сечениях, следовательно, весть наибольший или весть наименьший. Предположим, чтоявляется наибольшим элементомТак как- не верхняя грань множествато найдётсятакой, чтоРассмотрим числоТогдане является верхней гранью, т.е.нозначитне является наибольшим вПолучили противоречие. Следовательно, внет наибольшего, значит, весть наименьший элемент, который и является, согласно определению, точной верхней гранью (супремумом) множестваТеорема доказана.

Следствие (существование точной нижней грани). Если непустое множество ограниченно снизу, то у него существует инфимум.

Доказательство. Если непустое множество ограниченно снизу, то непустое множество ограниченно сверху. Тогда существует а значит, существует

§ 1.2. Предел последовательности

1. Предельные точки и предел последовательности

Для точки произвольной интервал содержащий точкуназывается еёокрестностью, обозначается Множествоназываетсяпроколотой окрестностью точки и обозначается Окрестность виданазывается-окрестностью точки и обозначается

Определение. Число называетсяпредельной точкой последовательности если для любогои любого натурального числанайдётся натуральное числотакое, что выполняется неравенство

Теорема. Число является предельной точкой последовательноститогда и только тогда, когда в любой её окрестности находится бесконечно много членов последовательности.

Доказательство. Пусть является предельной точкой последовательностии найдётся такая её окрестность, в которой находится лишь конечное число членов последовательности, а именно… ,Положимтогда в-окрестности нет ни одного члена последовательности, что противоречит тому, чтоявляется предельной точкой.

Пусть теперь в любой окрестности точки находится бесконечно много членов последовательности. Тогда для любого и любого натурального числанайдётся натуральное числотакое, что выполняется неравенствоиначе в окрестностинаходилось бы лишь конечное число членов последовательности, не превосходящееСледовательно, точкаявляется предельной точкой последовательностиТеорема доказана.

Пример. У последовательности две предельные точки итак как в любой окрестности точкинаходятся члены с нечётными номерами, в любой окрестности точки 1 - с нечётными.

Предельных точек может быть как угодно много. Так, например, множеством предельных точек последовательности является отрезок

Определение. Число называетсяпределом последовательности (обозначается) если для любогонайдётся натуральноё числотакое, что при всех натуральныхвыполняется неравенствоПоследовательностьпри этом называетсясходящейся.

Таким образом, если то вне окрестности точкинаходится лишь конечное число членов последовательности, не превосходящееПредел всегда является предельной точкой, предельная точка не обязана быть пределом.

Упражнение. Сформулировать утверждения:

а) не является предельной точкой последовательности

б) не является пределом последовательности

в) последовательность не имеет предела.

Пример. Докажем, что Возьмём произвольноеи найдём натуральноё числотакое, что при всех натуральныхвыполняется неравенствогдеобозначает целую часть числат.е. наибольшее целое число, не превосходящее

Теорема о единственности предела. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет по крайней мере два предела: иПоложимСогласно определению предела найдутся натуральные числаитакие, что при всехвыполняется неравенствоа при всехвыполняется неравенствоТогда привыполняются неравенства:

Следовательно, Полученное противоречие доказывает, что предположение о существовании двух пределов ложно. Теорема доказана.

Упражнение. Выяснить, верны ли утверждения:

а) если у последовательности есть предел, то у неё ровно одна предельная точка;

б) если у последовательности одна предельная точка, то у неё существует предел.