Пределы и непрерывность

Числовые множества.

Последовательности, предел последовательности

Лекции 1-2

1.1. Числовые множества

1.1.1. Ограниченные множества

Определение. Множество называетсяограниченным сверху, если существует число такое, что для всехвыполняется неравенствоПри этом числоназываетсяверхней гранью множества

Если является верхней гранью множества то любое число также является верхней гранью множества

Определение. Множество называетсяограниченным снизу, если существует число такое, что для всехвыполняется неравенствоПри этом числоназываетсянижней гранью множества

Если является нижней гранью множества то любое число также является нижней гранью множества

Определение. Множество называетсяограниченным, если существует число такое, что для всехвыполняется неравенство

Множество является ограниченным тогда и только тогда, когда оно ограниченно и сверху и снизу.

Определение. Число называетсянаибольшим (наименьшим) элементом множества еслии для всехвыполняется неравенство().

Наибольший (наименьший) элемент множества является его верхней (нижней) гранью. Если существует верхняя (нижняя) грань множествапринадлежащаято усуществует наибольший (наименьший) элемент.

Пример. а) Множество является ограниченным снизу, неограниченным сверху, неограниченным, имеет наименьший элемент, равный 2, не имеет наибольшего.

б) Множество является ограниченным снизу, ограниченным сверху, ограниченным, имеет наименьший элемент, равный 2, не имеет наибольшего.

1.1.2. Точные грани множества

Определение. Точной верхней гранью (или супремумом) множества называется наименьшая из его верхних граней. Обозначается

Если то, во-первых,является верхней граньюво-вторых, любое числоне является верхней гранью, то есть:

1. Для любого выполняется неравенство

2. Для любого найдетсятакой, что

Обозначив получим другую запись пункта 2:

3. Для любого найдетсятакой, что

Определение. Точной нижней гранью (или инфимумом) множества называется наибольшая из его нижних граней. Обозначается

Если то, во-первых,является нижней граньюво-вторых, любое числоне является нижней гранью, то есть:

4. Для любого выполняется неравенство

5. Для любого найдетсятакой, что

Обозначив получим другую запись пункта 2:

2. Для любого найдетсятакой, что

Пример. Множеством верхних граней множества является множествоНаименьшим элементом множестваявляется 3,Множеством нижних граней множестваявляется множествоНаибольшим элементом множестваявляется 2,

Множеством, противоположным множеству называется множество, обозначаемоесостоящее из элементовгде

Суммой множеств называется множество, обозначаемоесостоящее из всевозможных суммгде

Теорема. Если множество имеет супремум, то множествоимеет инфимум и

Доказательство. Обозначим Тогда для любоговыполняется неравенствоТак как для любогонайдётсятакой, чтото для любоговыполняется неравенствоВозьмём произвольноТогда найдётсятакой, чтоа значит,значит, найдётсятакой, чтоТем самым доказано, что

Упражнение. Доказать, что если множество имеет инфимум, то множествоимеет супремум и

Теорема. Если множества имеют супремум, то множествотакже имеет супремум и

Доказательство. Обозначим Произвольноепредставимо в видегдеТогда выполняются неравенстваЗначит,Зададим произвольноТогда найдутсяитакие, чтоТогда для элементавыполняется неравенствоТем самым доказано, что

Следствие. Если множества имеют инфимум, то множествотакже имеет инфимум и

Доказательство. Множества иимеют супремум, при этомТогда их сумма, равнаяимеет супремум,Множествоимеет инфимум,

Разностью двух множеств иназывается сумма множестви

Упражнение. Доказать, что если множество имеет супремум, а множествоимеет инфимум, то множествоимеет супремум, а множествоимеет инфимум. При этом выполняются равенства