Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Высшая математика

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
5.73 Mб
Скачать

Международный консорциум «Электронный университет»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Евразийский открытый институт

А.Н. Малахов, Н.И. Максюков, В.А. Никишкин

Высшая математика

Учебно-методический комплекс

Москва 2008

УДК – 517 ББК – 22.11 В – 937

Малахов А.Н., Максюков Н.И., Никишкин В.А. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:

Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 315 с.

В пособии представлены основные разделы математики, необходимые для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области экономики, менеджмента, статистики, бизнеса и информационных технологий.

Пособие предназначено для студентов и слушателей, обучающихся на всех формах обучения с использованием дистанционных образовательных технологий, а также для преподавателей высших и средних специальных учебных заведений.

Авторы: Малахов Александр Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент

Максюков Николай Иванович,

доцент

Никишкин Валерий Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент

ISBN 978-5-374-00101-3

© Максюков Николай Иванович, 2008

 

© Малахов Александр Николаевич, 2008

 

© Никишкин Валерий Александрович, 2008

 

© Евразийский открытый институт, 2008

Издание 3-е Выпуск 5-й

2

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ........................................................................................................

5

 

 

Введение..........................................................................................................................

6

1.

 

Векторная алгебра..........................................................................................................

7

2.

 

Кривые второго порядка................................................................................................

32

3.

 

Аналитическая геометрия в пространстве...................................................................

53

4.

 

Введение в математический анализ..............................................................................

66

5.

 

Дифференциальное исчисление....................................................................................

107

6.

 

Неопределенный интеграл.............................................................................................

148

7.

 

Определенный интеграл и его геометрические приложения.....................................

169

8.

 

Обобщение понятия определенного интеграла. Несобственные интегралы............

191

9.

 

Функции нескольких переменных................................................................................

198

10.

Двойные интегралы........................................................................................................

236

11.

Ряды ................................................................................................................................

246

12.

Дифференциальные уравнения.....................................................................................

265

Решение типовых задач контрольных работ.................................................................

287

Задания для контрольных работ......................................................................................

314

Выводы..................................................................................................................................

327

Вопросы к экзамену ............................................................................................................

329

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ.................................................

335

1.

Цели, задачи изучения дисциплины и сферы профессионального применения.........

336

2.

Необходимый объем знаний для изучения дисциплины...............................................

336

3.

Перечень тем и подтем......................................................................................................

336

 

 

Тема 1. Векторная алгебра........................................................................................

336

 

 

Тема 2. Геометрия на плоскости и в пространстве.................................................

337

3

Тема 3. Вещественные и комплексные числа. ........................................................

339

Тема 4. Числовые последовательности....................................................................

340

Тема 5. Понятия функции. Элементарные функции. Предел функции................

342

Тема 6. Непрерывность функций.............................................................................

344

Тема 7.

Производная и дифференциал функции. ...................................................

345

Тема 8.

Приложения производной. ..........................................................................

347

Тема 9.

Неопределенный интеграл. .........................................................................

348

Тема 10.

Определенный интеграл. ...........................................................................

350

Тема 11.

Функции нескольких переменных............................................................

352

Тема 12.

Ряды. ............................................................................................................

355

Тема 13.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.......................................

357

4. Литература..........................................................................................................................

 

 

359

4

Учебное пособие

5

Введение

Знания, приобретаемые студентом в результате изучения математики, играют важнейшую роль в процессе его обучения в институте. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области экономики, менеджмента, статистики, бизнеса и информационных технологий. Математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач техники, экономики и финансов, планирования и прогнозирования, анализа финансовой и экономической деятельности. Поэтому студент не должен забывать, что и после окончания вуза он не раз столкнется с необходимостью применения математики в практической деятельности.

Учебные планы инженерно-экономических, экономических специальностей, специальностей в области статистики, менеджмента, бизнеса, информационных технологий и юриспруденции предусматривают изучение курса «Высшая математика».

Объем и содержание этого курса определяются программами, утвержденными Учебно-методическим управлением министерства общего и профессионального образования Российской Федерации и не зависит от формы обучения (дневное, вечернее, заочное, дистанционное).

Данное учебное пособие соответствует учебной программе по курсу высшей математики.

При написании данного пособия была использована следующая литература:

1.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1987 г.

2.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Тт. 1–2. – М.: Наука,

1979 г.

3.Овчинников П.Ф. и др. Высшая математика К.: Высшая школа, 1989 г.

4.Коровин Ю.В., Никишкин В.А. Введение в математический анализ. – М.:

МЭСИ, 1983 г.

5.Коровин Ю.В., Никишкин В.А. Методические указания по изучению курса «Высшая математика».

6.Малахов А.Н. Высшая математика. – М.: МЭСИ, 1997 г.

6

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.Векторная алгебра

1.1.Понятие вектора и линейные операции над векторами

1.1.1. Понятие вектора

Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок.

Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом AB , где точки

A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом a .

B

a

A

Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать

символом модуля: AB или a .

Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

a

b

a

b

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

a

b

a b

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

1.1.2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

Определение 1. Суммой

a

+

b

двух векторов

a

и

b

называется вектор, идущий

из начала вектора

a

в конец вектора

b

при условии,

что вектор

b

приложен к концу

вектора

a

.

 

 

 

 

 

7

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

a b

a+b

Это правило называют “правилом треугольника”.

Свойства сложения векторов:

1. a + b = b + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Приложим два произвольных вектора a

и b

 

 

 

 

 

к общему началу 0. Обозначим A и B концы векторов

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

a

 

C

и

b

 

соответственно и рассмотрим параллелограмм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

OBCA.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BC

=

OA

=

a

,

AC

=

OB

=

b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

a

A

 

 

 

Из определения 1 и OAC следует, что OC = a + b , а из OBC следует, что OC = b + a , ч.т.д.

Замечание. При доказательстве свойства 1 нами получено правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a + b ( b + a ) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b .

2. (a + b)+ c = a + (b + c)

Доказательство. Приложим вектор a к произвольной точке 0, вектор b к концу

вектора a и вектор c к концу вектора b .

A

b

B

a

 

b + с

 

 

a + b

 

c

0

 

C

(a + b) + c = a + (b + c)

Обозначим буквами A, B, C концы векторов a , b и c , тогда

(a + b) + c = (OA + AB) + BC = OB + BC = OC

a+ (b + c) = OA + (AB + BC) = OA + AC = OC , ч.т.д.

3.Существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a . Это свойство вытекает из определения 1.

8

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4. Для любого вектора a существует противоположный ему вектор - a такой, что a +(a) = 0 .

Для доказательства этого свойства определим вектор - a , противоположный векто-

ру a , как вектор, коллинеарный вектору a , имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление.

Взятая по определению 1 сумма вектора a с таким вектором - a дает нулевой вектор.

Определение 2. Разностью a b вектора a и вектора b называется такой вектор

c , который в сумме с вектором b дает вектор a .

Из определения 2 и из правила треугольника (определение 1) сложения векторов вытекает правило построения разности a b : разность a b приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора b в

конец уменьшаемого вектора a .

a a b

0

b

Определение 3. Произведением α a (a α) вектора a на вещественное число α называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину α a , и имеющий направ-

ление, совпадающее с направлением вектора a в случае α>0 и противоположное направ-

лению вектора a в случае α<0.

Свойства операции умножения вектора на число: 5. α(a + b) = αa b

αa

α(a + b)

a a + b

0

 

α

b

b

При “растяжении” сторон параллелограмма в α раз в силу свойств подобия диагональ также “растягивается” в α раз, т.е.

αа b = α(а + b )

6.(α+β)а = αа а .

7.α(βа) = (αβ)а .

Последние два свойства очевидны из геометрических соображений.

9

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1.3.Понятие линейной зависимости векторов

Линейной комбинацией n векторов a1, a 2 , ..., a n будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа:

α1a1 2 a 2 +...n a n ;

(1)

где α1,α2,... αn- любые вещественные числа.

Определение 1. Векторы a1, a 2 , ..., a n называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α1,α2,...,αn, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

что линейная комбинация векторов a1, a 2 , ..., a n с указанными числами

обращается в

нуль:

 

 

α1a1 2 a 2 +...n a n

= 0

 

Векторы a1, a 2 , ..., a n

не являющиеся линейно зависимыми будем

называть ли-

нейно независимыми.

 

 

Приведем другое определение линейно независимых векторов.

Определение 2. Векторы a1 ,a2 ,...,an называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда числа

α1=α2=,...,=αn=0

Из определений 1 и 2 следуют два утверждения:

1. Если хотя бы один из векторов a1, a 2 , ..., a n является нулевым, то эти векторы явля-

ются линейно зависимыми.

2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

1.1.4. Линейные комбинации двух векторов

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Доказательство.

1). Необходимость. Пусть векторы a и b линейно зависимы. Докажем их коллинеарность.

По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа α и β, хотя бы одно из которых не равно нулю, что справедливо равенство

αa b = 0

Пусть β≠0. Тогда b = − αβ a .

Обозначив λ = − αβ ; получим b = λa .

Необходимость доказана.

2). Достаточность. Пусть векторы a и b коллинеарны. Докажем, что они линейно зависимы. Если хотя бы один из них нулевой, то a и b линейно зависимы.

10