4.2.3. Задача управления многономенклатурными запасами при ограничении на емкость склада

Рассмотрим задачу создания многономенклатурных запасов при ограничении на суммарную емкость склада.

Пусть для і-го вида продукта (запаса) затраты на заказ фиксированы и составляют , удельные затраты на хранение единицы продукта,, спрос детерминированный с интенсивностью, (i = 1, 2, ., n). Предположим также, что поставки выполняются мгновенно (), и дефицитне допускается (), причем заказы по разным продуктам выполняются независимо. Тогда средние общие затраты по всем номенклатурам в единицу времени (при замене) определяются соотношением

,              (7.3.21)

где - размер заказа по-и номенклатуре.

Если на запасы наложено ограничение, что средний суммарный уровень не должен превышать емкости складов, то необходимо минимизировать при ограничении вида

.                             (7.3.22)

Сначала определим оптимальный размер заказа по каждой номенклатуре по формуле Уилсона (7.3.20):

, i = 1, 2, ., n.                 (7.3.23)

Если , то ограничение (7.3.22) выполняется и (7.3.23) определяет оптимальные размеры заказов. В противном случае, необходимо искать минимум (7.3.21) при ограничении

(7.3.24)

Для этого применим метод множителей Лагранжа. Составим функцию

.           (7.3.25)

Оптимальные значения переменных определяются решением системы уравнений

(7.3.26)

Отсюда оптимальный размер заказа определяется соотношением

.                             (7.3.27)

4.2.4. Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках

Рассмотрим некоторые задачи управления запасами при вероятностном спросе. Простейшим случаем управления запасами является однократное принятие решений на пополнение запасов [І8]. Рассмотрим этот вариант.

I вариант. Рассмотрим модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках. Пусть - запас продукта к началу операции;- запас после пополнения ( ), а () - случайный спрос за время операции;- плотность распределения спроса;- расходы на пополнение запасов.

Предположим, что заказ на пополнение выполняется мгновенно. Если к концу операции на складе остается часть невостребованного запаса , то система снабжения несет расходы на сохранение избыточного запаса(при,). Наоборот, при неполном удовлетворении спроса () система платит штраф за дефицит. Тогда математическое ожидание суммарных расходов системы за период равно

.   (7.3.28)

Найдем, при каких значениях величинабудет минимальной. Для этого определим

,     (7.3.29)

где ,,- обозначены частные производные по соответствующим функциям ( в (7.3.29) учтено, что, и положим).

В общем случае функция при фиксированныхможет иметь несколько минимумов.

Обозначим через абсциссу абсолютного минимума, а через,,точки следующих относительных минимумов, причем пусть<< < .< (рис. 7.12). Пусть далее ,,- точки,  удовлетворяющие таким условиям:<<<<.;=,

=и т.д.

Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет такой [18; 49]:

при заказывать;

при ничего не заказывать;

при заказыватьи т.д.

Приведем достаточные условия, при которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, отвечающую одному минимуму функции [49]:

a)- не является относительным минимумом и

;

в) уравнение имеет не более одного вещественного корня;

c)→ ∞ при → ∞.

Поясним физический смысл условий: а) экономическая целесообразность создания положительного запаса; с) неэффективность слишком больших запасов.

Обозначим через решение уравнения(рис. 7.13). Тогда оптимальная стратегия единственная и будет следующей:

при заказывать (делать заказа на поставку);

при ничего не заказывать.

ІІ вариант. Допустим, что стоимость пополнения запасов равна прии нулю при. Как видим, в этом случае в сравнении с вариантом І появился дополнительный член(фиксированная плата за заказ). В этом случае заказ целесообразно делать лишь при условии

                                      .                      (7.3.30)

Если уравнение (7.3.30) имеет единственное решение , то оптимальная стратегия, как видно из рис. 7.14, имеет вид [49]:

при заказывать;

при ничего не заказывать.

В литературе эта стратегия называется 'стратегией двух уровней' или (S,s)-стратегией [49].

Определение оптимальных уровней запасов при вероятностном спросе и линейных функциях затрат.

Рассмотрим частный случай модели при вероятностном спросе, когда функции затрат ,и-линейные. В этом случае величинуможно определить аналитически.

Действительно,

,

тогда

,   (7.3.31)

Отсюда для нахождения оптимального уровня запасов получим уравнения

;                        (7.3.32)

где - функция распределения случайного спроса.

В частности, для спроса,  распределенного по закону Рэлея,

,

имеем

,

отсюда

.

Для показательного распределения спроса получим

,

откуда

.

Рассмотрим случай дискретного распределения спроса :

(7.3.33)

Соответственно

(7.3.34)

Найдем приращение

. (7.3.35)

Докажем существование и единственность оптимального решения , для чего исследуем знак приращения. При

,

а при

               .             (7.3.36)

Итак, монотонность функции обеспечивает однократность смены знака приращения. Очевидно, выбордолжен производиться из условий:

,                 (7.3.37)

которые можно свести к системе неравенств:

.                  (7.3.38)

Найдем расходы за период так же, как и в детерминированном случае (рис. 7.15):

а) при средний положительный запас равен, а время его существования;

б) при получим средний положительный запас, средний дефицит, время существования запасаи время существования дефицита.

Общие расходы в единицу времени составляют

.