- •Международный консорциум «Электронный университет»
- •Оглавление
- •Тема 1.
- •Цель изучения – ознакомление с различными направлениями и методологией исследования операций
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Этапы исследования операций
- •Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе
- •Тема 2.
- •Цель изучения – выработать навыки решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2.1.1. Виды матриц
- •2.1.2. Действия над матрицами
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Решение систем алгебраических уравнений
- •2.3.1. Основные понятия и определения
- •2.3.2. Формулы крамера и метод обратной матрицы
- •2.3.3. Метод жордана–гаусса
- •2.4. Векторное пространство
- •2.4.2. Размерность и базис векторного пространства
- •2.5. Решение задач линейной алгебры с помощью ms Excel
- •Тема 3.
- •3.1. Постановки задачи линейного программирования
- •3.1.1. Общая постановка задачи линейного программирования
- •3.1.2. Основная задача линейного программирования
- •3.1.3. Каноническая задача линейного программирования
- •3.2. Графический метод решения злп
- •3.3. Анализ решения (модели) на чувствительность
- •3.4. Решение линейных моделей Симплекс-методом
- •3.5. Двойственный симплекс-метод (р-Метод)
- •3.6. Решение злп двухэтапным Симплекс-методом
- •Тема 4.
- •Теория двойственности в линейном программировании
- •Цель изучения – получить представление о теории двойственности и осознать ее экономическую значимость.
- •4.1. Определение и экономический смысл двойственной злп
- •4.2. Основные положения теории двойственности
- •Получение оптимального плана двойственной задачи на основании теоремы 4.4.
- •4.3. Решение злп с помощью Ms Excel
- •4.4. Анализ решения злп на основе отчетов ms excel
- •Тема 5.
- •Целочисленные модели исследования операций
- •Цель изучения – получить представление о специальных задачах линейного программирования, об особенностях решения зцлп.
- •5.1. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (цзлп)
- •X1, х2 0, целые.
- •5.2. Задача коммивояжера
- •Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера
- •Ветвление
- •Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
- •Формирование списка кандидатов на ветвление
- •Тема 6.
- •Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Цель изучения – получить представление об особенностях решения транспортной задачи и задачи о назначении.
- •6.1. Транспортная задача линейного программирования
- •Методы составления первоначальных опорных планов
- •Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток
- •Выбор клетки, в которую необходимо поместить перевозку
- •Построение цикла и определение величины перераспределения груза
- •Проверка нового плана на оптимальность
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •6.2. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Оптимальное распределение оборудования
- •Формирование оптимального штата фирмы
- •Задача календарного планирования производства
- •Модель без дефицита
- •Модель с дефицитом
- •6.3. Задача о назначениях
- •Венгерский алгоритм
- •Оптимальное исследование рынка
- •Оптимальное использование торговых агентов
- •Глоссарий
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
Тема 3.
Линейное программирование
Для изучения данного раздела дисциплины необходимо знание темы 2.
Изучив тему, студент должен:
знать формы записи ЗЛП, основные определения и свойства ЗЛП;
уметь использовать графический, симплекс-метод, Р-метод, двухэтапный симплекс-метод решения ЗЛП;
приобрести навыки решения ЗЛП с помощью MS Excel;
уметь определять интервалы изменения коэффициентов целевой функции, при которых структура оптимального плана остается неизменной;
уметь определять интервалы изменения значений констант в правой части ограничений, при которых структура оптимального плана остается неизменной.
Цель изучения – изучение темы «Линейное программирование» должно дать достаточно полное представление о возможностях применения методов линейного программирования и интерпретации получаемых с их помощью результатов.
Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования приводится широкий круг вопросов планирования экономических и технико-экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения; само возникновение и развитие линейного программирования непосредственно связано с экономической проблематикой.
Как показывают приведенные в теме 1 примеры, левая и правая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками «», «=», «». Также и переменные, фигурирующие в линейных моделей, могут быть неотрицательными, отрицательными или не иметь ограничений в знаке, поэтому задачи линейного программирования имеют несколько вариантов постановки.
3.1. Постановки задачи линейного программирования
3.1.1. Общая постановка задачи линейного программирования
Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) может быть сформулирована следующим образом: найти значения переменных Х1, Х2,…,Хn, максимизирующие линейную форму
(x1,x2,…,xn) = c1x1+…+cnxn (3.1)
при условиях
i = 1,…, m1 (m1 m) , (3.2)
i = m1 + 1,…, m ,
xj 0, j = 1,…, p (p n) . (3.3)
Соотношения (3.2) и (3.3) будем называть соответственно функциональными и прямыми ограничениями задачи линейного программирования (ЗЛП).
Значения переменных Хj (j = 1, 2,…, n) можно рассматривать как компоненты некоторого вектора = (Х1, Х2,…, Хn) пространства Еn.
Определение. Планом, или допустимым решением, задачи линейного программирования будем называть вектор пространства Еn, компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи.
Множество всех планов задачи линейного программирования (3.1) – (3.3) будем обозначать Р.
Теорема 3.1. Множество планов Р задачи линейного программирования (ЗЛП) есть замкнутое выпуклое множество.
Множество Р может быть как ограниченным, так и неограниченным, кроме того оно может оказаться пустым.
Напомним, что множество точек Р пространства En есть выпуклое множество, если вместе с любыми двумя его точками иему принадлежит и любая выпуклая линейная комбинация этих точек, то есть если,, то и любая точка
, 0 ≤ λ ≤ 1
также принадлежит множеству Р.
Множество точек = (Х1, Х2,…, Хn) пространства En , компоненты которых удовлетворяют условию
C1X1 + C2X2 +…+ CnXn = b,
называется гиперплоскостью пространства En.
Множество точек = (Х1, Х2,…, Хn) пространства En , компоненты которых удовлетворяют условию
C1X1 + C2X2 +…+ CnXn ≤ b ( ≥ b ),
называется полупространством пространства En.
Очевидно, что гиперплоскость и полупространство являются выпуклыми множествами пространства En.
Напомним, что точка выпуклого множества К является крайней, если в К не существует таких точеки,≠, что
, при некотором .
Геометрически это означает, что эта крайняя точка не может лежать внутри отрезка, соединяющего две точки выпуклого множества. Она лишь может быть одной из концевых точек этого отрезка.
Определение. План = (Х1*,…Хn*) будем называть решением задачи линейного программирования, или ее оптимальным планом, если
.
Определение. Будем говорить, что задача линейного программирования разрешима, если она имеет хотя бы один оптимальный план.