НачГеометрия_Семестр1_Теория

Начертательная геометрия изучает: способы построения изобра­ жений пространственных форм на плоскости; способы решения задач геометрического характера по заданным изображениям; поз­ воляет мысленно представить форму пространственного объекта по изображению. Проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекции. Виды проециро­ вания: центральное, параллельное, прямоугольное. Свойства проекций: каждой точке пространства соответствует одна проек­ ция на заданной плоскости проекции; каждая точка на плоскости может являться проекцией множества точек пространства, распо­ ложенных на проецирующей прямой → одна проекция точки не определяет её положение в пространстве. Две проекции точки достаточно для определения её положения в пространстве. Две проекции точки лежат на одной прямой, перпендикулярной оси проекции, эта прямая называется линией связи. Координатой точки называется расстояние (в мм) от точки в пространстве до координатной плоскости, совпадающей с плоскостью проекции.

Положение прямой в пространстве определяется двумя точками. Взаимное положение точки и прямой: если точка принадлежит прямой в пространстве, то её проекции принадлежат одноимён­ ным проекциям прямой и лежат на одной линии связи, перпенди­ кулярной оси проекции. Следы прямой — точки пересечения прямой с плоскостями проекции. Прямые общего положения — прямые, не параллельные ни к одной из плоскостей проекции. Прямые частного положения — прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекции. Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноимённые проекции пересекаются, и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи. Если прямые параллельны в пространстве, то их одноимённые проекции па­ раллельны или совпадают. Скрещивающиеся прямые — пря­ мые, которые не пересекаются и не параллельны. Если прямые скрещивающиеся, то на чертеже их проекции могут пересекаться, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. У конкурирующих точек отличается только одна координата. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересе­ кающимися прямыми, полученными параллельным переносом. Проецирование прямого угла: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции, а вторая ей не перпендикулярна, то проекцией прямого угла будет прямой угол (натуральная ве­ личина). Способы задания плоскости: тремя точками, не лежа­ щими на одной прямой; прямой и точкой, не лежащей на этой пря­ мой; пересекающимися прямыми; параллельными прямыми; плос­ кой фигурой; следами. Следом плоскости называется линия пере­ сечения заданной плоскости с плоскостью проекции. Плоскость общего положения — плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекции. Плоскость частного положения —

плоскость, перпендикулярная одной или двум плоскостям проек­ ции. Свойство проецирующей плоскости: проецирующая плос­ кость проецируется в прямую линию на ту плоскость проекции, которой одна перпендикулярна. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Пря­ мая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости. Горизонталью плоскости называется прямая, ле­ жащая в заданной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекции. Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная фронтальной плос­ кости проекции. Результатом пересечения прямой и плоскости

является точка; алгоритм: заключить прямую во вспомогательную плоскость, найти линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью, на пересечении заданной прямой и пря­ мой пересечения отметить точку, которая и будет точкой пересече­ ния прямой и плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. Две плоско­

сти параллельны, если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым дру­ гой плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она пер­ пендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то на чертеже её гори­ зонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а её фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали (на основании теоремы о част­ ном случае проецирования прямого угла). Две плоскости взаим­ но перпендикулярны, если одна плоскость проходит через (со­ держит) перпендикуляр другой плоскости. Цель преобразования чертежа — переход от общего положения геометрического объек­ та в частное, необходимое для решения геометрической задачи. Преобразования можно достичь способом перемены плоскостей проекции и способом вращения. Сущность способа перемены плоскостей проекции состоит в том, что частное положение объекта достигается путём изменения системы плоскостей проек­ ции, при этом сам объект остаётся в пространстве неподвижным. Условия преобразования: объект при всех преобразованиях дол­ жен находиться в системе двух взаимно перпендикулярных плос­ костей проекции; преобразование чертежа должно обладать непре­ рывностью, то есть каждая последующая система плоскостей проекции должна быть связана с предыдущей. При способе вра­ щения система плоскостей проекции остаётся неизменной, а ме­ няет своё положение объект проецирования (поворачивается до частного положения). Кривой линией называется траектория дви­ жения некоторой точки в плоскости или пространстве. Плоская кривая — кривая, все точки которой принадлежат одной плоско­ сти (окружность, эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда). Пространственная кривая — кривая, точки которой не лежат в одной плоскости (винтовая). Закономерными кривы­ ми называют кривые, описываемые некоторым законом. Незако­ номерные кривые случайны. Образующая — линия, производя­ щая поверхность в каждом её положении. Направляющая — ли­ ния или линии, вдоль которой скользит образующая, сохраняя не­ которое положение в пространстве. Линейчатая поверхность — поверхность, у которой образующая — прямая линия (цилиндр, конус). Развёртываемая поверхность — поверхность, которая может быть всеми своими точками совмещена с плоскостью без разрывов и складок; такими могут быть только линейчатые по­ верхности. Точка принадлежит поверхности, если она принадле­ жит линии, лежащей на этой поверхности. Поверхность враще­ ния — поверхность, которая образуется произвольной линией (плоской или пространственной) при её вращении вокруг непо­ движной оси. Параллель — линия (окружность), которая получа­ ется при пересечении поверхности вращения плоскостью, перпен­ дикулярной оси вращения. Экватор — наибольшая параллель. Горло — наименьшая параллель. Меридиан — линия, которая об­ разуется при пересечении поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось вращения. Цилиндрическая поверхность

— поверхность, образуемая при перемещении прямой линии вдоль направляющей, сохраняя параллельность некоторому направлению. Цилиндр вращения — линейчатая развёртываемая поверхность 2-го порядка, которая образуется при вращении пря­ мой линии вокруг оси, ей параллельной. Коническая поверх­ ность — поверхность, которая образуется при перемещении неко­ торой прямой линии, проходящей через неподвижную точку, вдоль направляющей. Конус вращения — линейчатая развёртываемая алгебраическая поверхность 2-го порядка, которая образуется при вращении прямой линии вокруг оси, её пересекающей. Сфера — поверхность, которая образуется при вращении окружности (дуги

окружности) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и проходящей через её центр. Любая плоскость пересекает сферу только по окружности, но в зависимости от положения плоскости, окружность может проецироваться в виде отрезка прямой, окруж­ ности или эллипса. Экватор — максимальная окружность, кото­ рая получается при пересечении сферы горизонтальной плоско­ стью, проходящей через центр сферы. Главный меридиан — окружность, которая получается при пересечении фронтальной плоскостью, проходящей через центр сферы. Профильный мери­ диан — окружность, которая получается при пересечении сферы профильной плоскостью, проходящей через центр сферы. Тор — поверхность, которая образуется при вращении окружности или дуги окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружно­ сти, но не проходящей через её центр. Круговые сечения тора: плоскости, проходящие через ось тора, пересекут тор по двум окружностям; плоскости, перпендикулярные оси тора, пересекут его по двум окружностям. Виды тора: закрытый (расстояние меж­ ду осью и центром окружности меньше или равно радиусу), открытый (расстояние между осью и центром окружности больше радиуса). Взаимное пересечение кривых поверхностей: пере­ сечь заданные поверхности вспомогательной поверхностью; по­ строить линии пересечения вспомогательной поверхности с задан­ ными поверхностями; на пересечении полученных линий пересе­ чения отмечаем точку (или точки), которая будет являться точкой пересечения всех трёх поверхностей → будет лежать на линии пересечения заданных поверхностей. В качестве вспомогатель­ ных поверхностей можно использовать плоскости, сферы, конусы и т. д. Вспомогательную поверхность выбирают так, чтобы линии пересечения с другими поверхностями были простыми (прямые, окружности). Соосными поверхностями называются поверхно­ сти, имеющие общую ось вращения. Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, плоскость которой пер­ пендикулярна оси вращения. Условия применения сфер с посто­ янным центром в качестве вспомогательных секущих поверхно­ стей: пересекаются две поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются и лежат в плоскости, параллельной плос­ кости проекции. Пересечение прямой линии с кривой поверх­ ностью: заключаем прямую во вспомогательную плоскость; нахо­ дим линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной поверхностью; на пересечении прямой и полученной линии пере­ сечения отмечаем точки, которые и будут являться точками пере­ сечения прямой и поверхности; определяем видимость получен­ ных точек. Многогранником называется часть пространства, ограниченная плоскостями (призмы и пирамиды). Вершина — точка пересечения рёбер. Ребро — прямая линия пересечения двух граней. Грань — плоскость, ограниченная рёбрами. Точка принадлежит поверхности многогранника, если она принадле­ жит прямой, лежащей на грани, или ребру. Пересечение много­ гранника с прямой: заключаем прямую во вспомогательную плоскость, перпендикулярную V или H; строим линию пересече­ ния вспомогательной плоскости и многогранника; на пересечении заданной прямой и полученной линии пересечения отмечаем точ­ ки, которые и будут являться точками пересечения прямой и многогранника; определяем видимость прямой.