- •Численные методы II
- •Содержание
- •1. Решение линейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и их систем Справочная информация
- •Метод стрельбы
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •2. Алгебраическая задача на собственные значения Справочная информация
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Собственные значения - первые 4
- •3. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений Справочная информация
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •4. Применение метода конечных элементов для решения эллиптического уравнения Справочная информация
- •Вариационная постановка краевой задачи
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •5. Применение метода конечных элементов для решения параболического уравнения Справочная информация
- •Вариационная постановка начально-краевой задачи
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •6. Применение метода конечных элементов для решения гиперболического уравнения Справочная информация
- •Вариационная постановка начально-краевой задачи
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •7. Решение экстремальных задач Справочная информация
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •Список литературы
Программное обеспечение
Решение начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в Matlab’е может быть построено с помощью среды PDE Tool. Приёмы работы с ней описаны в двух предыдущих разделах, посвящённых эллиптическому и параболическому уравнениям. Ниже, на примере решения конкретной задачи, будет показан процесс построения решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения с помощью PDE Tool.
Пример решения на пэвм
Условия задачи. Найти решение начально-краевой задачи для параболического уравнения
,
,
где область S поиска решения показана на рис.2. На границе Г области S заданы следующие граничные условия
,
,
а
Рис.2.
.
Решение. Процесс построения решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в среде PDE Tool аналогичен описанному ранее для краевой задачи с параболическим уравнением.
Сначала задаётся система глобальных координат и рисуется область поиска решения (см. рис.3).
Рис.3.
После этого задаются граничные условия и гиперболическое уравнение, для чего они заранее приводятся к используемому в среде PDE Tool виду
,
,
.
На следующем шагев области поиска решения помощью пункта меню Mesh формируется конечно-элементная сетка.
Затем в окне Solve Parameters задаются начальные условия и отрезок времени, на котором строится решение рассматриваемой задачи (см. рис.4). В этом же окне можно установить допустимый уровень относительной (Relative tolerance) и абсолютной (Absolute tolerance) погрешности решения задачи Коши
Д
Рис.4.
Последний шаг – построение конечно-элементного решения рассматриваемой задачи осуществляется с помощью пункта меню Solve PDE. Некоторые кадры получающегося мультипликационного изображения решения показаны на рис.5 для разных моментов времени.
Рис.5.
Контрольные задания
Методом конечных элементов получить решение начально-краевой задачи для гиперболического уравнения. Область поиска решения указана в соответствии с номером варианта на рис.6–15. Оценить погрешность получаемого решения.
Варианты 1–3 (рис.6). | |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
Варианты 4–6 (рис.7). | |
4. |
|
5. |
|
6. |
|
Варианты 7–9 (рис.8). | |
7. |
|
8. |
|
9. |
|
Варианты 10–12 (рис.9). | |
10. |
|
11. |
|
12. |
|
Варианты 13–15 (рис.10). | |
13. |
|
14. |
|
15. |
|
Варианты 16–18 (рис.11). | |
16. |
|
17. |
|
18. |
|
Варианты 19–21 (рис.12). | |
19. |
|
20. |
|
21. |
|
Варианты 22–24 (рис.13). | |
22. |
|
23. |
|
24. |
|
Варианты 25–27 (рис.14). | |
25. |
|
26. |
|
27. |
|
Варианты 28–30 (рис.15). | |
28. |
|
29. |
|
30. |
|
|
| |
Рис.6(варианты1–3). |
Рис.7(варианты4–6). | |
|
| |
Рис.8(варианты7–9). |
Рис.9(варианты 10–12). | |
|
| |
Рис.10(варианты 13–15). |
Рис.11(варианты16–18). | |
|
| |
Рис.12(варианты19–21). |
Рис.13(варианты 22–24). |
|
|
Рис.14(варианты25–27). |
Рис.15(варианты28–30). |