- •Численные методы II
- •Содержание
- •1. Решение линейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и их систем Справочная информация
- •Метод стрельбы
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •2. Алгебраическая задача на собственные значения Справочная информация
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Собственные значения - первые 4
- •3. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений Справочная информация
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •4. Применение метода конечных элементов для решения эллиптического уравнения Справочная информация
- •Вариационная постановка краевой задачи
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •5. Применение метода конечных элементов для решения параболического уравнения Справочная информация
- •Вариационная постановка начально-краевой задачи
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •6. Применение метода конечных элементов для решения гиперболического уравнения Справочная информация
- •Вариационная постановка начально-краевой задачи
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •7. Решение экстремальных задач Справочная информация
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм
- •Контрольные задания
- •Список литературы
Контрольные задания
Методом конечных элементов получить решение краевой задачи для эллиптического уравнения. Область поиска решения указана в соответствии с номером варианта на рис.16–25. Дать оценку погрешности получаемого решения.
Варианты 1–3 (рис.16). | |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
Варианты 4–6 (рис.17). | |
4. |
|
5. |
|
6. |
|
Варианты 7–9 (рис.18). | |
7. |
|
8. |
|
9. |
|
Варианты 10–12 (рис.19). | |
10. |
|
11. |
|
12. |
|
Варианты 13–15 (рис.20). | |
13. |
|
14. |
|
15. |
|
Варианты 16–17 (рис.21). | |
16. |
|
17. |
|
18. |
|
Варианты 19–21 (рис.22). | |
19. |
|
20. |
|
21. |
|
Варианты 22–24 (рис.23). | |
22. |
|
23. |
|
24. |
|
Варианты 25–27 (рис.24). | |
25. |
|
26. |
|
27. |
|
Варианты 28–30 (рис.25). | |
28. |
|
29. |
|
30. |
|
|
|
Рис.16 (варианты 1–3). |
Рис.17 (варианты 4–6). |
|
|
Рис.18 (варианты 7–9). |
Рис.19 (варианты 10–12). |
|
|
Рис.20 (варианты 13–15). |
Рис.21 (варианты 16–18). |
|
|
Рис.22 (варианты 19–21). |
Рис.23 (варианты 22–24). |
|
|
Рис.24 (варианты 25–27). |
Рис.25 (варианты 28–30). |
5. Применение метода конечных элементов для решения параболического уравнения Справочная информация
Параболическое уравнение относится к дифференциальным уравнениям с частными производными 2-го порядка. Оно описывает нестационарные процессы, так как одним из его аргументов является время t. В двумерном пространстве {x, y} это уравнение в классической форме имеет вид
или
,
где u = u(x, y, t) – искомое решение, a – известный параметр уравнения, а f = f(x, y, t) – заданная ограниченная функция. В общем виде параболическое уравнение записывается следующим образом
,
где d = d(x, y, t), c = c(x, y, t), a = a(x, y, t) – известные и ограниченные в области действия уравнения функции. Другая форма записи параболического уравнения имеет вид
.
Решение параболического уравнения обычно ищется в замкнутой областиS (см. рис.1). На границе этой области поведение решения определяется граничными условиями двух типов
или
.
З
Рис.1.
.
Кроме граничных условий для решения параболического уравнения необходимо задавать одно начальное условие
.
Оно описывает искомое решение в начальный момент времени, за который обычно принимают t = 0. Такая постановка задачи для параболического уравнения называется начально-краевой задачей.