fsm

конечный автомат. Суть алгоритма заключается в том, что при обходе синтаксического дерева для каждого из поддеревьев строится структурное представление недетерминированного конечного автомата по следующим правилам.

Пусть ri и rj – некоторые подвыражения регулярного выражения r, а N(ri) и N(rj) – соответствующие им недетерминированные конечные автоматы, которые получаются при обходе синтаксического дерева, соответствующего r. Тогда:

1. Если текущий узел ε-node, то ему соответствует недетерминированный автомат, приведенный на рис. 6.1, где i – стартовое состояние, а f – принимающее состояние.

Рис. 6.1. Структура недетерминированного конечного автомата, соответствующего регулярному выражению r = ε

2. Если текущий узел a-node (для регулярных выражений, описывающих бинарные сигналы, 0-node или 1-node), то ему соответствует недетерминированный автомат, приведенный на рис. 6.2, где i – стартовое состояние, а f – принимающее состояние.

Рис. 6.2. Структура недетерминированного конечного автомата, соответствующего регулярному выражению r = a

81

Синтезированный с помощью данного алгоритма недетерминированный конечный автомат обладает следующими полезными свойствами, с точки зрения его анализа и дальнейшего использования:

1)количество состояний не более чем в два раза превышает количество символов в записи регулярного выражения;

2)автомат имеет одно начальное и одно принимающее состояние;

3)принимающее состояние не имеет исходящих переходов;

4)начальное состояние не имеет входящих переходов;

5)для любого не принимающего состояния имеется один переход по сигналу 0 или 1, или не более двух исходящих переходов по ε.

Недетерминированный конечный автомат может быть преобразован в детерминированный, при этом следует отметить, что количество состояний детерминированного конечного автомата в общем случае может экспоненциально зависеть от количества состояний недетерминированного автомата. Для начала, введем ряд понятий, которые будем использовать при описании алгоритма:

ε-замыкание z (S ') от подмножества состояний недетерми-

нированного конечного автомата S' S – это множество состояний, достижимых из данного подмножества состояний S’ по произвольному количеству ε-переходов;

следующее a-подмножество Ma(S’) от подмножества состояний недетерминированного конечного автомата S' S – подмножество состояний, достижимых из подмножества состояний S’ по одному a-переходу (для недетерминированных конечных автоматов для анализа регулярных выражений у нас будут только a-подмножества

M0(S’) и M1(S’)).

Идея данного алгоритма сводится к последовательной замене ε-замыканий от следующих a-подмножеств, построенных, начиная со стартового состояния, одним состоянием детерминированного конечного автомата.

Рассмотрим вспомогательный алгоритм построения ε-замы- кания для подмножества состояний S’ (алгоритм 6.2).

85

Алгоритм 6.2

Построение ε-замыкания

пока стек не пуст { взять очередное s’

для каждого ε-перехода из s’ в s”{ если s" z (S ') {

поместить s” в стек поместить s” в z (S ')

}

}

}

Рассмотрим один из алгоритмов преобразования недетерминированного конечного автомата в детерминированный – алгоритм построения подмножеств (алгоритм 6.3). В результате работы алгоритма получаем таблицу переходов D между состояниями детерминированного конечного автомата S’ и их соответствие состояниям недетерминированного конечного автомата S, из которого получен данный детерминированный конечный автомат.

Алгоритм 6.3 Построение подмножеств для автоматов анализа бинарных сигналов

построить z (s0 ) от начального состояния назначить соответствие s’0 множеству z (s0 )

поместить s’0 в D, как непомеченные пока в D есть непомеченные состояния {

взять непомеченное s’i пометить s’i

s'( 0 ): zε(M 0(s'i ))

если s'(0) D

поместить s’(0) D как непомеченное

заполнить соответствующие переходы f(s’i,0)=s’(0)

86

s'(1): zε(M 1(s'i ))

если s'(1) D

поместить s’(1) D как непомеченное

заполнить соответствующие переходы f(s’i,1)=s’(1)

}

Отметим, что если при построении таблицы переходов (см. алгоритм 6.3) s’(0) или s’(1) равняются Ø, то соответствующие переходы ведут в так называемое тупиковое состояние – состояние детерминированного конечного автомата, из которого нет переходов, кроме как в само себя. При попадании в данное состояние, которое не является принимающим, можно сразу сделать вывод о том, что сигнал не соответствует заданному шаблону.

Следует также отметить, что полученный детерминированный конечный автомат может содержать избыточное число состояний, которое можно минимизировать, используя соответствующие алгоритмы.

Условное графическое обозначение синтезируемого автомата приведено на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Условное графическое обозначение автомата проверки соответствия сигнала некоторому шаблону

На вход DATA поступает анализируемый двоичный сигнал. На вход READ поступает признак наличия корректных данных на вхо-

87

де DATA (0 – данные на входе DATA игнорируются, 1 – данные на входе DATA анализируются конечным автоматом). На вход CLOCK поступают синхроимпульсы. На вход RESET подается сигнал сброса конечного автомата в начальное состояние. На выходе GOOD формируется признак соответствия сигнала заданному шаблону, на выходе BAD формируется сигнал о заведомо некорректном сигнале (при переходе в тупиковое состояние, которое не является принимающим).

Пример

Постановка задачи. Спроектировать устройство, определяющее, является ли сигнал правильно сформированным. Правильно сформированный сигнал начинается и заканчивается синхропосылкой вида 101, а между ними должно находиться не менее одной произвольной триады (000, 001, 010,…).

Составление регулярного выражения и построение синтаксического дерева

Правильный сигнал должен начинаться и заканчиваться последовательностями 101; между ними может находиться не менее одной произвольной триады (000, 001, 010, …, 111). Тогда формальное описание сигнала в виде регулярного выражения будет иметь следующий вид:

101(000|001|010|011|100|101|110|111)+101

Данное регулярное выражение можно сократить, использую стандартные преобразования:

101(000|001|010|011|100|101|110|111)+101 = 101(00(0|1)|01(0|1)|10(0|1)|11(0|1))+101 = 101((00|01|10|11)(0|1))+101= 101((0(0|1)|1(0|1))(0|1))+101= 101((0|1)(0|1)(0|1))+101

Отметим, что результат преобразований может быть получен и непосредственно из анализа задания.

88

Построим синтаксическое дерево для разбора сокращенной формы записи регулярного выражения, соответствующего шаблону сигнала, по алгоритму 6.1.

1. Получим исходное регулярное выражение (РВ), дополненное скобками в начале и конце:

РВ + 1 0 1 )

№поз. 21 22 23 24 25

2.Находим первую пару ближайших скобок в позициях 5 и 9; заменяем позицию 6 на 0-node (A), позицию 8 на 1-node (B):

РВ + 1 0 1 )

№поз. 21 22 23 24 25

3.Заменяем триаду A | B (позиции 6, 7, 8) на |-node (C); A и B – левое и правое поддеревья для C (все изменения выполняются в строке исходного регулярного выражения, поэтому номера позиций элементов изменяются):

РВ 0 1 )

№поз. 21 22 23

4. Заменяем триаду (С) (позиции 5, 6, 7) на C:

89