top-book

Лекция 3: Компакты в метрических пространствах

ства, изометрически вложенные в третье метрическое пространство M (такие вложения существуют по теореме Урысона). Рассмотрим инфимум inf dH (Z1; Z2) для всех таких вложений. Немножко повозившись, можно доказать, что это действительно метрика.

Втакой ситуации можно говорить о сходимости и пределе метрических пространств ("предел Громова-Хаусдорфа"). Эта идея оказалась неожиданно полезной в топологии и дифференциальной геометрии. Довольно большие классы пространств оказались компактными в метрике, заданной Громовым-Хаусдорфом; из этого удалось вывести много важных ограничений на топологические инварианты многообразий.

В2000-е годы геометрия метрических пространств получила дополнительный толчок. Григорий Перельман, изучая эволюцию сложного дифференциально-геометрического уравнения ("потока Риччи"), смог классифицировать вырождения решений этого уравнения. Он обнаружил, что в громовском пределе пространство, на котором оно определено, становится из многообразия негладким метрическим пространством. Оказалось, что это предельное метрическое пространство устроено довольно просто. Вырезав из него особые точки и доклеив их пленкой, Перельман снова получил гладкое многообразие, и продолжил на нем эволюцию потока Риччи, получив в пределе многообразие, где этот поток стабилен. Такие пространства (“с постоянной кривизной Риччи") были давно классифицированы. Таким образом Перельман доказал гипотезу Пуанкаре, и получил классификацию трехмерных многообразий.

Часть III. Лекции по топологии

Лекция 4: Внутренняя метрика

4.1. Пространство с внутренней метрикой

Пусть M метрическое пространство, а : [0; ] ! M непрерывное отображение из отрезка. Такое отображение называется путем из (0) в

( ), а (0) и ( ) началом и концом пути , а также его концами. Рассмотрим разбиение отрезка [0; ] в объединение меньших отрезоч-

ков,

[0; ] = [0; 1] [ [x1; x2] [ ::: [ [xn 1; ]:

Для простоты обозначим x0 := 0; xn := . Пусть

Конечно, такой супремум может быть равен бесконечности, но для C- липшицева пути : [0; ] ! M длина не превосходит C (докажите). Также ясно, что L( ) d(x; y), где x; y концы пути (выведите это из неравенства треугольника).

Предположим, что для любых точек x; y метрического пространства M, найдется путь конечной длины, соединяющий x и y. Легко видеть, что в таком случае инфимум L( ) (“длина кратчайшего пути от x до y") по всем таким путям задает метрику на M (докажите).

Метрика на M называется внутренней метрикой (“intrinsic metric"), если этот инфимум равен d(x; y).

Пусть M метрическое пространство, такое, что между любыми двумя точками M есть путь конечной длины. Легко видеть, что функция, ставящая в соответствие паре точек x; y в M инфимум длины путей из x в y, является внутренней метрикой (проверьте это).

Лекция 4: Внутренняя метрика

Внутренняя метрика отличается следующим свойством.

Условие Хопфа-Ринова:

Пусть M пространство с внутренней метрикой. Для любых точек x; y 2 M, и любого положительного r < d(x; y), имеем

d(y; Br(x)) = d(x; y) r:

Докажем это равенство.

Заметим, что неравенство d(y; Br(x)) d(x; y) r имеет место в произвольном метрическом пространстве, и следует из неравенства треугольника (докажите). Поэтому для доказательства условия Хопфа-Ринова нужно доказать неравенство d(y; Br(x)) d(x; y) r.

Пусть : [0; 1] ! M путь из x в y, длины d(x; y) + ". Такой путь существует, потому что метрика внутренняя. Из определения L( ) ясно, что

для любого z в образе (докажите).

Рассмотрим функцию d : [0; 1] ! R, d (t) := d(x; (t)). Поскольку d непрерывна, и d (0) = 0; d (1) = d(x; y) + ", каждая точка отрезка [0; d(x; y) + "] имеет прообраз. Возьмем t0 такой, что d (t0) = r ". Тогда z := (t0) лежит в шаре Br(x). В силу (4.1.1), имеем

d(y; z) d(x; y) + " d(x; z) = d(x; y) + " d (t0) = d(x; y) r + 2":

Поэтому d(y; Br(x)) d(x; y) r + 2", для любого " > 0. Мы доказали условие Хопфа-Ринова.

Заметим, что не любое метрическое пространство, удовлетворяющее условию Хопфа-Ринова, обладает внутренней метрикой. Легко видеть, что никаких непостоянных непрерывных отображений из отрезка в рациональные числа нет, между тем рациональные числа с обычной метрикой удовлетворяют условию Хопфа-Ринова (докажите это).

Часть III. Лекции по топологии

4.2.Локально компактные метрические пространства

Напомним, что открытыми множествами в метрическом пространстве называются произвольные объединения открытых шаров, а замкнутыми множествами их дополнения.

Пусть M метрическое пространство, x 2 M точка, r > 0 вещественное число. Множество

называется замкнутым шаром радиуса r с центром в x. Это множе-

ство замкнуто. Действительно, для каждой точки 2 r , , y = B (x) d(x; y) > r

и открытый шар " не пересекается с r для любого

B

(

y

)

B

(

x

)

"

d

(

x;

y

)

r

(выведите это из неравенства треугольника).

Напомним, что замыканием множества Z называется множество предельных точек всех последовательностей, лежащих в Z. Легко видеть, что замыкание множества замкнуто (докажите).

Вообще говоря, замыкание открытого шара Br(x) не равно замкнуто-

му шару r . Возьмем в качестве пространство с метрикой

B (x) M d(x; y) = 1 для всех x 6= y; тогда открытый шар B1(x) это точка x, а замкнутый шар – все M.

Если M удовлетворяет условию Хопфа-Ринова, то замыкание Br(x)

тогда некоторая последовательность точек Br(x) сходится к y, а значит, y лежит в замыкании Br(x).

Определение 4.2. Метрическое пространство M называется локально компактным, если для каждой точки x 2 M найдется число r > 0

такое, что замкнутый шар r компактен.

B (x)

Напомним, что ограниченным подмножеством метрического пространства называется подмножество, которое содержится в каком-то шаре BC(x).

Лекция 4: Внутренняя метрика

Теорема 4.3: (теорема Хопфа-Ринова, часть 1) Пусть M локально компактное метрическое пространство с условием Хопфа-Ринова. Тогда следующие утверждения равносильны:

(i)M полно

(ii)Любое замкнутое, ограниченное подмножество M компактно.

Доказательство:

Следствие (ii) ) (i) вполне очевидно. Действительно, любая последовательность Коши fxig содержится в замкнутом шаре, который компактен по условию (ii), значит fxig сходится.

Осталось доказать, что в полном локально компактном метрическом пространстве с условием Хопфа-Ринова любое замкнутое, ограниченное подмножество компактно.

Шаг 1.

Поскольку замкнутое подмножество компакта компактно (докажите), для утверждения теоремы Хопфа-Ринова достаточно доказать, что любой замкнутый шар в M компактен.

Шаг 2.

Рассмотрим функцию : M ! R,

Если бесконечно в одной точке x, это значит, что любой замкнутый шар с центром в x компактен. Из этого легко следует, что все замкнутые шары в M компактны (докажите это). Поэтому можно считать, что функция везде конечна.

Легко видеть, что 1-липшицева, а следовательно непрерывна. Дей-

ствительно, B d(x;y)(y) B (x) (выведите это из неравенства треугольника). Поэтому j (x) (y)j d(x; y).

Шаг 3.

Докажем теперь, что замкнутый шар (x) компактен. А приори, это

B (x)

может быть и не так, ведь в определении (x) используется супремум,

поэтому из этого определения следует лишь то, что r компактен для

B (x)

всех r < (x).

Часть III. Лекции по топологии

Из условия Хопфа-Ринова вытекает Br(x)(") = Br+"(x), где Z(") обозначает объединение всех открытых "-шаров с центрами в Z. Это позво-

Из этого очевидно, что для каждой последовательности frig, сходящей-

ся к , последовательность замкнутых шаров r является последова- r B i (x)

тельностью Коши (в смысле метрики Хаусдорфа), и сходится к r .

B (x)

Возьмем последовательность ri < (x), сходящуюся к (x).

Замкнутый шар (x) получается как предел последовательности Ко-

B (x)

ши r компактных шаров. По утверждению, доказанному в преды-

B i (x)

дущей лекции с помощью "-сетей, такой предел всегда компактен.

Шаг 4.

Воспользовавшись компактностью (x) , мы докажем, что шар

B (x)

(x)+" компактен для достаточно малого . Таким образом мы

B (x) " > 0

придем к противоречию.

Рассмотрим ограничение функции на (x) . Поскольку непре-

B (x)

рывна и положительна, а шар (x) компактен,

B (x)

B (x)(x)(") V (")(") = V (2"):

Мы получили, что шар (x)+" лежит в объединении замкнутых -

B (x) 2"

шаров с центрами в точках V . Эти шары компактны, а поскольку конеч-

ное объединение компактов компактно (докажите это), (x)+" явля-

B (x)

ется замкнутым подмножеством компакта. Значит, (x) не супремум

всех , для которых компактно: мы пришли к противоречию. Тео-

B (x)

рема 4.3 доказана.

Лекция 4: Внутренняя метрика

4.3.Геодезические в метрическом пространстве

Определение 4.4. Пусть M метрическое пространство с внутренней метрикой. Непрерывное отображение : [0; ] ! M называется кратчайшей, если его длина равна d( (0); ( )).

Любой отрезок кратчайшей снова кратчайшая. Действительно, если (t1); (t2) можно соединить путем 0, более коротким, чем , тогда

(0); ( ) можно соединить путем, идущим от 0 до t1 по , от t1 до t2 по

0 и от t2 до по ; этот путь будет, очевидно, короче исходного.

Напомним, что гомеоморфизмом метрических пространств называется непрерывная биекция, обратное отображение к которому тоже непрерывно.

Если ' : [0; ] ! [0; ] гомеоморфизм, а путь из x в y, композиция ' тоже путь из x в y. В такой ситуации, ' называется репараметризацией пути . Легко видеть, что длина пути не меняется при его репараметризации (докажите). Поэтому репараметризация кратчайшей снова кратчайшая.

Пути, которые получены посредством репараметризации, называются эквивалентными с точностью до репараметризации, а выбор пути в классе эквивалентности параметризацией.

Определение 4.5. Пусть : [0; ] ! M кратчайшая, соединяющая x и y, причем d( (x); (y)) = jx yj для любых x; y. Такая кратчайшая называется кратчайшей геодезической, а соответствующая параметризация геодезической параметризацией. Очевидно, кратчайшая геодезическая задает изометрическое вложение [0; ] ! M.

Утверждение 4.6: Пусть : [0; ] ! M кратчайшая, соединяющая x и y, причем d(x; y) = . Тогда у существует геодезическая параметризация.

Доказательство: Утверждение 4.6 легко увидеть из простых физических соображений. Представьте себе велосипедиста, который едет по дороге с переменной скоростью. Пусть (t) координата велосипедиста.

Часть III. Лекции по топологии

Возьмем вместо t расстояние, которое велосипедист уже проехал; полученная траектория (зависящая уже не от времени, а от параметра "расстояние от начала") и является кратчайшей геодезической.

Для доказательства Утверждения 4.6, нам понадобится несколько предварительных замечаний.

'

Лемма 4.7: Пусть M ! N непрерывное отображение. Тогда образ компактного подмножества Z компакт.

Доказательство: Возьмем покрытие '(Z) открытыми подмножествами; его прообраз дает открытое покрытие Z, и там можно выбрать конечное подпокрытие в силу компактности.

Если M компактно, то любая непрерывная биекция из M в N является гомеоморфизмом. Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что образ открытого множества является открытым; в силу биективности, это эквивалентно тому, что образ замкнутого множества замкнут. Но образ компакта при непрерывном отображении всегда компактен, значит образ любого замкнутого подмножества замкнут.

Вернемся к доказательству Утверждения 4.6. Рассмотрим отображение ' : [0; ] ! [0; ], '(t) = d(x; (t)). Это отображение непрерывно, потому что функция dx(y) = d(x; y) непрерывна (она липшицева; проверьте это). Поскольку каждый отрезок кратчайшей кратчайшая, оно

биективно: действительно, d(x; (t)) равен длине пути , а значит эта

[0;t]

функция монотонно возрастает. Непрерывное, биективное отображение из компакта в компакт гомеоморфизм, как мы только что доказали. Поэтому 0 = ' 1 является репараметризацией . Для t 2 [0; ],

d(x; (' 1(t))) = '(' 1(t)) = t;

а значит, 0 геодезическая.

Теоремой Хопфа-Ринова называется утверждение о компактности ограниченного замкнутого подмножества в локально компактном пространстве с внутренней метрикой (Теорема 4.3). Также теоремой Хопфа-Ринова называется утверждение о наличии геодезических в полном, локально компактном пространстве с внутренней метрикой.

Лекция 4: Внутренняя метрика

Теорема 4.8: (теорема Хопфа-Ринова, часть 2) Пусть M локально компактное, полное метрическое пространство с условием ХопфаРинова, а x0; x1 2 M произвольные точки, с d(x0; x1) = . Тогда существует кратчайшая геодезическая : [0; ] ! M, соединяющая x0 и x1. В частности, M является пространством с внутренней метрикой.

d(0; 1 ) = d(1 ; x1 ) = =4. Повторяя это до бесконечности, мы получим

44 2

для каждого рационального числа = 2nk ,1 0 1 точку x 2 M, причем d(x ; x 0) = j 0j . Это задает изометрическое отображение из множества чисел вида ( двоично-рациональное) на отрезке [0; ] в M. Поскольку M полно, можно продолжить это отображение до отображения пополнений. Получим изометрическое отображение из отрезка [0; ] в M. Это и есть кратчайшая геодезическая. Мы доказали Теорему 4.8.

4.4. История, терминология, литература

Пространства с внутренней метрикой возникли в работах Хайнца Хопфа в 1930-е годы. Хопф изучал топологию римановых многообразий, и обнаружил, что многие локальные результаты, полученные из анализа (существование геодезических, локальная компактность и так далее) верны глобально, и позволяют получить много информации о топологии многообразия.

Многообразие есть топологическое пространство, локально (в окрестности каждой точки) гомеоморфное Rn. Такие гомеоморфизмы называются картами, совокупность всех карт атласом на многообразии. С каждым атласом связаны отображения перехода от одной карты к многообразию и к другой карте; все это отображения из открытых подмножеств в Rn в открытые подмножества в Rn. Если они все гладкие (бесконечно дифференцируемые), многообразие называется гладким. Гладкое

1Такие рациональные числа называются двоично-рациональными.

Часть III. Лекции по топологии

Heinz Hopf (1894-1971)

многообразие называется римановым, если в каждом касательном пространстве задана метрика (положительно определенное скалярное произведение). Интегрируя эту метрику по гладкому пути, можно получить функционал длины гладкого пути; расстояние между точками x; y риманова многообразия определяется как инфимум длины по всем гладким путям из x в y. Эта метрика по построению внутренняя, а Rn очевидно локально компактно. Таким образом, доказанные выше теоремы можно применить к римановым многообразиям.

В последние 20-30 лет основные результаты в топологии (доказательство гипотезы Пуанкаре, инварианты Дональдсона и Зайберга-Уиттена) происходят из римановой геометрии, то есть геометрии римановых мно-