8. Интервальное оценивание. Доверительные интервал и вероятность. Распределение Стъюдента.

Интегральная оценка – оценка, определяется 2мя числами - концами интервала. Позволяет установить точность и надежность оценки.

Точность оценки ∆ : |θ* - θ| < ∆ , ∆>0. Чем ↓∆ , тем точнее оценка.

Надежность оценка γ - вероятность, с которой осуществляется |θ* - θ| < ∆. Обычно надежность задается наперед (например: γ = 0,95 ; γ =0,99). γ = Р [θ* - ∆< θ < θ* + ∆] вероятность того, что интервал (θ*-∆; θ*+∆) заключает в себе (покрывает) неищв параметр θ равно γ.

Доверительный интервал I_β- интервал (θ*-∆; θ*+∆) , покрывающий неизв параметр θ с заданной надежностью γ. Доверительный интервал это СВ, т.к. она опр по выборке х₁…з_n

Доверительная надежность β – вероятность, с которой интервал накрывает θ. (надежность).

Β = Р (|θ* - θ| < ∆) β=∫ f(θ*) dθ*

Ширина β зависит от n (объема выборки) ∆ 0 при n ∞ ; β 1 при ∆  ∞ . интервальное оценивание используется при небольших n.

Распределение Стъюдента.

СВ - Х распределена по НЗР, выборка х₁…х_n – СВ => их линейная комбинация тоже СВ Хв=* ∑х

М(Х_в) = * ∑М(Х) = Мх

D(Х_в) = D [∑M(X)] = 1/n² * n * Dx = Dx/n

Сформулируем величину

Если σ известно = M[(x_в-m_x)/ (σ_x/n)] => σ_x->S => (x̅_в-m_x/S)*=t

9. Понятие о распределении Пирсона. (хи2)

Р-м Х_i = Х₁.Х_n - нормальные независимые СВ

М(Х_i) = 0 M(Х₁)=М(Х₂)= …. = М(Х_n) = 0

D(Х_i) =1 D(X₁)=D(X₂)= …. = D (X₂) =1

Тогда хи² = ∑Хi² хи² = Х₁² +…+Х_n² с к=n степенями свободы. (есди ∑х =nX то к=n-1 )

Распределение Пирсона – это плотность распределения СВ хи²

Зависит только от объема выборки n. n  ∞ тогода хи²  к НЗР

М(хи²)=n

D(хи²)=2n

S² = * ∑[(Х_в-X_i)²/n] M[Х_в-X_i] = М_х-М_х = 0

Хи² = S² (n-1) / σ_x²

10. Доверительный интервал для мат ожидания и дисперсии. Схема их определения. Приближенное построение доверительных интервалов.

x₁…х_n – выборка. М_х-? σ-? Неизвесты.

Средневыборочные значения:

М* = Х_в = ∑;S² = * ∑(X-Х_в)² постоить доверительный интервал для этих оценок.

, т.е. необходимо найти такое ∆-? , чтобы Р(|Хв-m| < ∆) = β

| Х_в-m| < ∆ (жомножим это на √(n/S²)) получаем t= (√(n) / S ) * | Х_в-m| ; |t| = ∆ * √(n/S²) =t_β

тогда Р(|Х_в-m| < ∆) = β => Р(|t| < t_β) = β ; t – по з-ну Стъюдента, f(t) –известно.

Доверительный интервал для D_х. Схема определения.

Т_в=∑X_i ; S² = ∑(X_i-X̅_в)² ; χ²=(1/ σ_x²)*S²(n-1)

Приближенное построение доверительного интервала.

В основе лежит возможность применения предельных теорем теории вероятности. При достоточно больших n. на практике установлено, что при n>20 з-н распределения суммы величин можно считать практически нормальным.

m*_x=D*_x=S²=∑(x_i-x̅_в)² ,

Т.к. m* имеет норм зак распр => ф-ция Лапласа Р(|m*-m| < ∆)=

Ф(∆/σ_x) = β. Обратное преобразование ∆=Ф^-1(β) σ_x,

σ_x= I _β=( m*-∆; m*+∆)

11. Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Виды ошибок. Общая логическая схема решения задачи.

Статистическая гипотеза – предположение о виде з-на распределении СВ или величины неизв параметра известного з-на распределения.

Стат проверка стат гипорез – процедура обоснованного сопоставления с помощью того или иного критерия, высказанной гипотезой H₀ с экспериментальными данными.

H₀ – выдвинутая гипотеза

H₁ – конкурирующая / альтернативная Н₀ зипотеза

Цель стат проверки: установить факт: не противоречит ли Н0 экспериментальным данным.

При проверки можно допустить 2 ошибки:

Ошибку 1 рода - непринятие верной гипотезы (непринятие истины)

Ошибку 2 рода – принятие неверной гипотезы (принятие лжи)

α – вероятность совершить ош 1 рода (уровень значимости)

β – вероятность совершить ош 2 рода 1-α ≠ β

Общая логическая схема решения задачи.

1. сформулировать Н₀ и Н₁

2. формирование критерия к= f_n(…)- CВ , т.к. … - СВ

Обязательное условие: з-н распределения СВ к= f(к) – плотность распределения критерия – должен быть хорошо изучен и затабулирован в предположительной справедливости Н0.

Принцип постоения к: величиной критерия к определяется мера расхождения имеющихся выборочных данных с высказанной Н₀.

3. Задание еличины уровня значимости α

Α зависит от потерь, которые получ при отвергании правильной гипотезы. Чем ↑ потери , тем ↓ α.

α чаще всего = 0,1 0,05, 0,025 0,005

4. из табл, где затабулирован f(k), с опр α находим точки. Эти точки разделяют область возможных знач критерия на 2 или 3 части. Они называются критические точки. (в зависимости от Н1)

Критические области, ее образуют знач к, при которых отвергается Н₀ где

1 – область малых знач, 2- правдоподобных Знач. 3 – область больших значений

5. в f_n(…) подставляем выборочные зная СВ

а) Кнабл в 2 область – принимается Н₀

б) Кнабл в 1 или 3 область – отвергается Н₀