№5: ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ. ИНЪЕКТИВНЫЕ, СЮРЪЕКТИВНЫЕ И БИЕКТИВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПРИМЕР
Отображения множеств
Пусть U, V - непустые множества, - (однозначное) отображение из множества U в множество V, т. е. каждому элементу сопоставляется элемент .
Замечание
Сохраняя единообразие с курсом анализа, мы обозначаем применение отображения f к элементу через f(u), т. е. f пишем слева от u. Возможно (а иногда и удобнее) было бы использовать обозначение uf.
Если , то f=f', если для любого имеем f(u)=f'(u).
Категория Set, в которой объекты - множества, морфизмы - отображения множеств, является одной из основных категорий в математике.
Инъективные, сюръективные, биективные отображения
Рассмотрим образ отображения
Можно рассмотреть также полезное отношение эквивалентности на множестве U, определяемое отображением ,
Определение .Отображение называется:
инъективным, если разные элементы в U при отображении f переходят в разные элементы в V (т. е. ),
сюръективным, если каждый элемент в V является образом некоторого элемента из U (т. е. , другими словами, ),
биективным, если отображение f инъективно и сюръективно (т. е. ).
Замечание
В более ранней математической литературе для биективного отображения использовалась более длинная комбинация слов: "взаимно однозначное отображение на",
иногда для сюръективного отображения мы будем говорить, что " f отображает множество U на множество V ".
Задачи
Пусть |U|=m, |V|=n. Доказать, что .
Пусть |U|=m, L(U) - совокупность всех подмножеств множества U (включая пустое подмножество). Доказать, что |L(U)|=2m.Указание. Для подмножества рассмотреть его характеристическую функцию Следствие .
Найти число инъективных (сюръективных) отображений , где |U|=m, |V|=n.
Пример .
Отображение f: N -> N, f(n)=n+1, является инъективным, но не является сюръективным.
Отображение f: N -> N, f(1)=1 и f(n)=n-1 для n>1, является сюръективным, но не является инъективным.
Тождественное отображение , 1U(u)=u для всех , очевидно, является биекцией.
Лемма. Пусть U - конечное множество, . Тогда равносильны условия:
f - инъективное отображение;
f - сюръективное отображение.
Доказательство.
Пусть . Так как - инъективное отображение, то . Поскольку , , то , т. е. f - сюръективное отображение.
Допустим противное, т. е. что не является инъективным отображением. Тогда для некоторых , . Следовательно, |Im f|<n=|U|, поэтому Im f<U, т. е. отображение f не является сюръективным, что приводит к противоречию.
№6
Определение. Если для подмножества
Множество ограниченно сверху
Определение. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.
Множество не ограниченно сверху .
Определение. Если для подмножества , то множество
Множество ограниченно снизу .
Определение. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.
Множество не ограниченно снизу .
Определение. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.
Определение. Множество, не являющееся ограниченным, называется не ограниченным множеством.
Определение. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество , называется его верхней гранью и обозначается через
Определение. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество , называется его нижней гранью и обозначается через
Пример. , где
Теорема. ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.
Доказательство. Пусть
Выполнение неравенства означает, что число
-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.
Если теперь
Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства неперрывности действительных чисел, и имеет место неравенство .
Это означает, что
№9
нету достоверной информации!!!!
№10
Ограниченные и неограниченные последовательности
Числовая последовательность {хn} называется ограниченной, если существуют числа m и M, такие, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам
m ≤ xn ≤ M.
Пусть А = max{ | m |, | M |}. Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в виде | xn | ≤ А n ≥ N:
Здесь и в дальнейшем будем пользоваться квантором всеобщности и квантором существования . Не вдаваясь в подробности определения этих логических операций, будем читать квантором всеобщности как "для любого", а квантор существования как "существует". Последовательность {хn} называется неограниченной, если для любого как угодно большого положительного числа А существует элемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенству | xn | > A, (т.е. либо xn > A, либо xn < - A):
Последовательность ограничена сверху, если все ее элементы принадлежат промежутку ( - ∞, M]:
Последовательность ограничена снизу, если все ее элементы принадлежат промежутку [m, + ∞):
З а м е ч а н и е. Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу).
Сравнивая запись с помощью логических символов двух последних определений, видим, что при построении отрицаний символы и заменяют друг друга и неравенства меняют свой смысл.
№15
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение. Последовательность { хn} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | xn | > A:
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | xn| > A выполняется не для всех элементов xn с нечетными номерами.
Определение. Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |αn| < ε:
№16
Предел суммы или разности сходящихся последовательностей
Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn) есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {xn} и {yn).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a и b – соответственно пределы последовательностей {xn} и {yn}. Тогда по определению имеем
Абсолютная величина разности может быть как угодно малой при всех n > N, если выбрать N = max{N1, N2 }:
,
что и доказывает сходимость последовательности {xn ± yn} к a ± b.