Свойства преобразования ф.

1. 

2. 

3. 

4. 

6. Теорема Парсеваля

Для математического моделирования операций преобразования типов сигналов используют специальные пробные функции:

1. δ - функция Дирака:

2. функция Кронекера (аналог δ функции для дискретных сигналов):

3. Единичная функция Хевисайда: для создания математических моделей сигналов конечной длительности.

(или 1,=0)

Тема 2. Вероятностные методы теории информационных процессов.

Случайные события

Любой принятый сигнал апостериорно представляет собой детерминированный процесс или событие. Априорно наблюдатель/приемник не знает в точности поведение сигнала, он для него не определен, т.е. случаен.

Математический аппарат описания априорно неопределенных процессов или событий:

• Теория вероятности

• Теория нечетных множеств

Теория вероятностей:

• Статистический подход

• Аксиоматический подход (Колмогоров)

Объекты теории вероятности:

• случайные события

• случайные величины

• случайные вектора

• случайные процессы

Случайное событие – произошло или нет, мера случайности – вероятность.

- да

N – всего событий,

Случайная величина

Случайный вектор , где - случайная величина.

Другой пример случайных событий – сигналы систем контроля состояния (логические сигналы). ИИС может одновременно фиксировать несколько случайных событий, т.е. ансамбль событий, например, смотрите рисунок выше.

А:

B:

С:

Эти события могут быть зависимыми или независимыми.

Отношения событий

Сумма: – по крайней мере одно событие имеет место.

Формула сложения вероятности:

Произведение: – и то, и это событие одновременно.

Формула умножения вероятности:

Здесь - условная вероятность.

Несовместимые события:

Несовместимые события образуют полную группу, если ∑ вероятности этих событий = 1. Обычно - ансамбль гипотез,

Формула полной вероятности

- ансамбль гипотез (полный).

Событие может произойти только совместно с одной из гипотез.

Очевидно,

Тогда

- апостериорная условная вероятность.

Пусть – вероятность состояния сигнала (сообщения), и нас интересуют априорные условные вероятности посылки , если мы получили .

Тогда формула Байеса:

Но , следовательно:

Случайный процесс как модель сигнала

В общем случае определяемая одномерной или многомерной функцией распределения и плотностью распределения вероятности.

Одномерная модель (модель сечения сигнала в момент t=t₀)

ξ - фиксируемая случайная величина или

Многомерная модель (случайный процесс – статистический ансамбль выборочных функций)

Здесь

Чаще всего ограничиваются исследованием одномерных и двумерных моделей.

Свойства функций и плотности распределения вероятности.

Если то

Для дискретных по величине случайных сигналов (квантованных):

Моментные функции случайных процессов

1. Математическое ожидание случайного сигнала (по сечению)

Непрерывный сигнал:

Дискретный по амплитуде (квантованный) сигнал:

2. Начальные моменты k-го порядка:

3. Центральные моменты k-го порядка:

4. Центральный момент 2-го порядка – дисперсия:

Для описания/моделирования временной взаимосвязи сечений случайного процесса используется:

корреляционная функция:

Ковариационная функция

При

Нормирование корреляционной и ковариационной функции:

Свойства:

Допущения и упрощения при моделировании случайных процессов:

Стационарность:

• В широком смысле: и – инвариантны относительно сдвига во времени:

• В узком смысле: - инвариантны относительно сдвига во времени.

Эргодичность:

Моментные функции, полученные для сечений с вероятностью, стремящейся к 1, совпадают со средними значениями, полученными на оной реализации по времени наблюдения

Для характеристики стационарных в широком смысле случайных процессов в частотной области используется – спектральная плотность стационарного случайного процесса – преобразования Ф от корреляционной функции (в комплексной форме):

Физический смысл - разложение средней мощности случайного сигнала по частотам.

Действительная форма спектрального разложения:

При этом при