5.3. Примеры

Пример 5.1. Вычислить интеграл в цилиндрических координатах:

.

Решение. Восстановим область интегрирования по известным пределам интегрирования:

Область (проекция областина плоскость) расположена в первой четверти и ограничена прямойи линией.

Преобразуем последнее выражение. После возведения в квадрат получим

, (5.3)

а после простых преобразований будем иметь

.

Это  уравнение окружности радиусом , центр которой смещён в положительную сторону по осина радиус. Границей областиявляется правая половина этой окружности.

Рис. 5.9

Уравнение окружности в цилиндрических координатах получим, подставив в (5.3) соотношения:

; ;

или .

Точка пробегает правую половину окружности при изменении угла от 0 до; подынтегральное выражение в цилиндрических координатах имеет вид:

.

Тело изображено на рис. 5.9.

Интеграл вычисляем в цилиндрических координатах:

.

Пример 5.2. Вычислить интеграл:

,

если область интегрирования ограничена сферой

.

Уравнение сферы простыми преобразованиями приводится к виду

.

Это – сфера радиусом , смещенная вверх по осина радиус (рис. 5.10).

Рис. 5.10

Решение. Вычисления проведём в сферических координатах. Уравнение границы области преобразуем, подставив в уравнение сферы соотношения

.

, или .

Подставив те же соотношения в подынтегральное выражение, получим

.

Области изменения переменных:

.

Интеграл в сферических координатах легко вычислить:

.

Объём тела удобно вычислять тройным интегралом:

.

В цилиндрических координатах интеграл принимает вид:

.

В сферических координатах:

.

Пример 5.3. Вычислить объём тела, ограниченного сферой

и конусом (рис. 5.11).

Решение. Уравнение сферы простыми преобразованиями приводится к виду:

.

В сферических координатах уравнение сферы 

.

Уравнение конуса 

.

Области изменения переменных 

.

Рис. 5.11

Искомый объём вычислим в сферических координатах:

.

Вычисление интеграла в данной задаче можно произвести в цилиндрических координатах.

Преобразуем уравнения сферы и конуса, подставив в них соотношения

.

Уравнение верхней половины сферы 

.

Уравнение верхней половины конуса 

.

Проекция объёма на плоскость круг радиусом . Области изменения переменных 

.

Эти данные позволяют расставить пределы в повторных интегралах и вычислить искомый объём:

.

Пример 5.4. Вычислить объём тела Вивиани, образованного пересечением сферы

и цилиндра с вертикальными образующими

.

(На рис. 5.12 приведено изображение только верхней половины тела Вивиани.)

Рис. 5.12

Решение. Вычислим интеграл в цилиндрических координатах. Преобразуем уравнения сферы и цилиндра, подставив в них соотношения

.

Уравнение сферы 

.

Уравнение цилиндра 

.

Вычислим объём четверти тела Вивиани, лежащей в первом октанте, и результат умножим на 4, что возможно, так как тело симметрично.

Области изменения переменных 

.

Вычисление тройного интеграла сведется к вычислению трех повторных интегралов, пределы интегрирования в которых соответствуют данным, приведенным выше:

.

Решить самостоятельно: [1] № 3590, 3592, 3593.