1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению и градиент

Определение.Если в каждой точке области пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле этой величины. Поле называется скалярным, если величина вполне характеризуется своим числовым значением.

Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке области определена скалярная функция

.

Геометрическое место точек, в которых скалярная функция принимает определённое значение, называется поверхностью уровня. Уравнение поверхности уровня имеет вид

.

Примеры скалярных полейполе температуры, поле электрического потенциала.

Пример 1.1.Построить поверхности уровня скалярного поля

Решение.

Это однопараметрическое семейство параллельных плоскостей, гдеС параметр.

Пример 1.2Найти поверхности уровня скалярного поля, где

постоянный вектор,

радиус-вектор точки.

Решение.

Скалярное произведение

уравнение поверхности уровня откуда следуетили

Это уравнение семейства параллельных плоскостей.

Найти самостоятельноповерхности уровня следующих скалярных полей:

1. 

2. 

3. (постоянные векторы.)

Если скалярное поле задано функцией двух переменных, например

,

то его называют плоским. Поверхности уровня в этом случае вырождаются в линии уровня, определяемые уравнением

.

Примером использования линий уровня для практических целей является физическая географическая карта, где с помощью линий уровня выявляется рельеф земной поверхности.

Пример 1.3.Найти линии уровня скалярного поля

Решение.

Линии уровня определяются уравнением

При получаем пару прямыхиприсемейство гипербол.

Найти самостоятельнолинии уровня следующих плоских полей:

4. ;

5. ;

6. 

Производная по направлению

Пусть в некоторой области трёхмерного пространства задано скалярное поле, определяемое функцией

.

Фиксируем точку и выберем направление, определяемое вектором, орт которого

.

Обозначим . Точкувыберем так, чтобы векторсовпадал с.

откуда следует :

,

или

(1.1)

Пусть ,приращение вектора

Определение.Предел отношения , если он существует приназывается производной функциив точке по направлению и обозначается символом, т.е.

Согласно правилу дифференцирования сложной функции

Из соотношений (1.1) следует, что

Подставив последние соотношения в предыдущее выражение, получим:

. (1.2)

Здесь символ и аналогичные означают, что производные вычисляются в точке.

Пример 1.4.Найти производную скалярного поляв точке

по направлению к точке .

Решение.

Вектор модуль вектора

орт вектора

следовательно,

, .

Значения частных производных функции в точкеравны:

Подставив всё в формулу (1.2), получим:

Решить самостоятельно

В следующих задачах найти производные функции по направлению от точкик точке:

7. , ;

8. ;

9. в точке по направлению параболы;

10. в точке по направлению окруж-ности

Градиент скалярного поля

Пусть в области пространства функциязадаёт скалярное поле. Функциянепрерывна и дифференцируема.Определение.Градиентом скалярного поля в точкеназывается вектор, обозначаемый символоми определяемый равенством

, (1.3)

Сопоставив последнее выражение с формулой (1.2), получим

где

орт направления

Очевидно, что производная функции по направлению вектораесть проекция векторана ось, направленную по

Градиент обладает следующими свойствами:

 градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня);

 градиент направлен в сторону возрастания функции U;

 модуль градиента равен наибольшему значению производной по направлению в данной точке поля;

Эти свойства позволяют сделать вывод, что есть вектор, по величине и направлению характеризующий наибольшую крутизну изменения функции.

Пример 1.5.Найти градиент скалярного поля.

Решение.

нормальный вектор для семейства параллельных плоскостей

,

которые являются поверхностями уровня данного скалярного поля.

Пример 1.6

Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности в точке.

Решение.

Пример 1.7.

Найти направление наибольшего изменения скалярного поля

и величину этого изменения в точке

Решение.

Направление наибольшей крутизны изменения поля задаёт вектор .

.

Решить самостоятельно:

11. найти градиент скалярного поля

в точке ;

11. найти угол между градиентами функции

в точках и;

11. найти угол между градиентами функций

и в точке;

14) найти градиент , если

постоянный вектор.

Ответы.

1. семейство сферических поверхностей;

2. семейство параболоидов;

3. пучок плоскостей;

4. семейство параллельных прямых;

5. пучок прямых;

6. семейство парабол;

7. 8) 9)10) -2 ; 11);

12) 13)14)